Wahrscheinlichkeit einer Folge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | Mithilfe der Ziffern 0,1 und 2 werden Folgen gebildet, indem an jeder Stelle jede der dreiZiffern mit WS 1/3 auftritt. Die Folgen sollen jeweils genau dann abbrechen, wenn zum ersten mal die Ziffer 2 auftritt.
a) Man bestimme den Ergebnisraum omega
b) Man bestimme das Ereignis Ak "Abbrechen nach k Schritten"
c) Berechnen Sie P(Ak) sowie [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] P(Ak)
d) Gilt omega= [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty} [/mm] Ak ? |
Hallo,
ich habe Probleme die Aufgabe zu lösen, da ich erst eine Vorlesung Stochastik hatte.
mein Vorschlag für die a) wäre omega = {0,1,2}. ode denke ich zu einfach?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
danke
grüße Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Fr 20.04.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Jan,
in der Ergebnismenge sind alle Ausgaenge gesammelt, die bei dem
Experiment auftreten koennen. Du kannst dir jede der Moeglichkeiten als
ein Tupel der Form [mm] $\omega=(x_1,x_2,...,x_n,2)$ [/mm] vorstellen. Dazu
gehoert beispielsweise (2), (0,2), (1,2) oder (0,1,0,1,0,2) usw.
a) Mithin ist [mm] $\Omega=\{(x_1,x_2,...,x_n,2)\mid x_i=0\mbox{ oder } 1\}$.
[/mm]
b) [mm] $A_k=\{(x_1,x_2,...,x_{k-1},2)\mid x_i=0\mbox{ oder } 1\}$.
[/mm]
c) Das Ereignis [mm] $A_k$ [/mm] weist [mm] $2^{k-1}$ [/mm] Elemente auf, wovon jedes mit
Wahrscheinlichkeit [mm] $(1/3)^k$ [/mm] eintritt (ich unterstelle
Unabhaengigkeit). Es folgt [mm] $P(A_k)=(2/3)^{k-1}/3$ [/mm] und somit
[mm] $1=\sum_{k=1}^\infty P(A_k)$ [/mm] (geometrische Reihe).
d) Offenbar gilt [mm] $\bigcup_{k=1}^\infty A_k\subset\Omega$. [/mm] Sei umgekehrt
[mm] $\omega\in\Omega$. [/mm] Beschreibt [mm] $\omega$, [/mm] dass vor dem $k$-ten Mal nur
Nullen oder Einsen auftraten und beim $k$-ten Mal eine 2, so ist
[mm] $\omega\in A_k$, [/mm] so dass [mm] $\Omega \subset\bigcup_{k=1}^\infty A_k$.
[/mm]
lg
Luis
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