Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 17.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 18 blaue 16 weiße, 15 gelbe und 9 rote Kugeln. Es werden 6 Kugeln aus dieser Urne gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei blaue und höchstens eine rote Kugel gezogen wurden?
b) Unter den 6 gezogenen Kugeln befanden sich mindestens drei blaue und höchstens eine rote Kugel. Diese 6 Kugeln werden in ein weitere (leere) Urne gelegt, und eine Kugel wird aus dieser Urne zuföllig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel blau ist. |
Also a) versteh ich glaub ich, aber b kann ich einfach nicht aufstellen.
zu a)
Die Möglichkeiten sind (günstige):
3 blaue, 1 rote, 2 andere: [mm] \vektor{18 \\ 3}*\vektor{9 \\ 1}*\vektor{31 \\ 2} [/mm] (31=16weiße+15 gelbe)
3blaue, 3 andere: [mm] \vektor{18 \\ 3}* \vektor{31 \\ 3}
[/mm]
4 Blaue, 1 rote, 1 andere: [mm] \vektor{18 \\ 4}*\vektor{9 \\ 1}*\vektor{31 \\ 1}
[/mm]
4 Blaue, 2 andere
5 Blaue, 1 rote,
5 blaue, 1 andere
6 blaue
das ganze dividiert durch die Möglichen:
[mm] \vektor{58 \\ 6} [/mm]
aber was muss ich bei b machen????
Ich bitte euch dringend um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> In einer Urne befinden sich 18 blaue 16 weiße, 15 gelbe und
> 9 rote Kugeln. Es werden 6 Kugeln aus dieser Urne gezogen.
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
> drei blaue und höchstens eine rote Kugel gezogen wurden?
> b) Unter den 6 gezogenen Kugeln befanden sich mindestens
> drei blaue und höchstens eine rote Kugel. Diese 6 Kugeln
> werden in ein weitere (leere) Urne gelegt, und eine Kugel
> wird aus dieser Urne zuföllig gezogen. Berechne die
> Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel blau ist.
> Also a) versteh ich glaub ich, aber b kann ich einfach
> nicht aufstellen.
>
> zu a)
> Die Möglichkeiten sind (günstige):
> 3 blaue, 1 rote, 2 andere: [mm]\vektor{18 \\ 3}*\vektor{9 \\ 1}*\vektor{31 \\ 2}[/mm]
> (31=16weiße+15 gelbe)
>
> 3blaue, 3 andere: [mm]\vektor{18 \\ 3}* \vektor{31 \\ 3}[/mm]
> 4
> Blaue, 1 rote, 1 andere: [mm]\vektor{18 \\ 4}*\vektor{9 \\ 1}*\vektor{31 \\ 1}[/mm]
>
> 4 Blaue, 2 andere
> 5 Blaue, 1 rote,
> 5 blaue, 1 andere
> 6 blaue
>
> das ganze dividiert durch die Möglichen:
> [mm]\vektor{58 \\ 6}[/mm]
>
> aber was muss ich bei b machen????
> Ich bitte euch dringend um Hilfe!
Hello kathi,
ich habe die Aufgabe nur relativ kurz durchgeschaut.
Ich habe mir nur kurz eine Meinung über die Art der Fragestellung gemacht. Ich frage mich ein wenig, zu welchen Fähigkeiten euch die Lehrperson damit hinführen will. Nach meiner bescheidenen Ansicht handelt es sich um eine Aufgabe für Studierende mit besonders zähem Arschleder... Wenn man die Grundlagen verstanden hat und sehr gerne Zahlen multipliziert und zusammenzählt, kann man die Aufgabe sicher lösen. Ich frage mich allerdings, ob das Verhältnis von Aufwand und Ertrag wirklich lohnend ist.
Den gleichen Lerneffekt (und möglicherweise auch einen Funken Freude an der Eleganz mathematischer Gedankengänge) könnte man bestimmt mit einfacheren Aufgabenbeispielen erzielen, die das Wesentliche der Ueberlegungen viel klarer hervortreten lassen.
Mit irgendwelchen konkreten Anwendungen der Stochastik hat das Beispiel kaum zu tun - ausser den rechnerischen Mühseligkeiten, die in praktischen Anwendungen durchaus auch oft auftreten.
Mit vielen Grüssen, insbesondere auch an den Lehrer...
Al-Chwarizmi (Gymnasiallehrer)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Do 17.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 17.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Nach meiner bescheidenen Ansicht handelt es sich um eine Aufgabe
> für Studierende mit besonders zähem Arschleder...
* Lach * - da ist was dran. Aber irgendwie finde ich eine solche Aufgabe trotzdem geil, weil jeder weiß, dass sie lösbar ist, aber kaum jemand das Arschleder hat, um sie zu lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 17.04.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Al-Chwarizmi!
> Sorry, aber es lohnt sich wirklich nicht, dafür noch eine
> Nachtschicht zu investieren !
Vielleicht kannst du ihr trotzdem erklären, was sie theoretisch machen muss? Ganz durchrechnen muss man das ja dann vllt nicht, aber wenigstens wissen, wie's ungefähr geht!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Do 17.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Zu dieser "Arschleder-Aufgabe":
Theoretisch muss man zunächst einmal berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind, dass 3, 4, 5 und 6 Blaue gezogen werden. Dabei darf man auch die Sache mit der "höchstens eine Rote" nicht vergessen, da das einige Kombinationen ausschließt (z.B. 4 Blau und 2 Rot).
Obiges ist m.E. der schwierigste (arschledernste) Teil der Aufgabe.
Als nächstes muss man dann noch die Sache mit der separaten Urne rausfieseln: In welchem Verhältnis stehen die Wahrscheinlichkeiten, dass da nun 3, 4, 5 und 6 Blaue drin liegen? (das hast du vorher gelöst)
Als nächstes könntest du ein Baumdiagramm zeichnen - z.B. Wahrscheinlichkeit für 5 Blaue ist 1:20 und dass du nun eine Blaue ziehst, ist 5:6 = also ergibt es in diesem Fall insgesamt 5:120
|
|
|
| |
|
Ebenfalls danke und gut' Nacht!
(man sollte die Gelegenheiten zu gesundem Humor nicht unbesehen vorbei gehen lassen...)
In diesem Sinne: tschüss
|
|
|
| |
|
Ja, ich hab's nun doch noch fertiggerechnet:
blaue rote andere
18 9 31 Total: 58 Kugeln
Möglichkeiten zu Aufgabe a) : Anzahl Möglichkeiten:
3 0 3 [mm] \vektor{18 \\ 3} *\vektor{9 \\ 0} *\vektor{31 \\ 3} [/mm] =3667920
3 1 2 3414960
4 0 2 1422900
4 1 1 853740
5 0 1 265608
5 1 0 77112
6 0 0 18564
Total: 9720804
Die Lösung zu a) wäre also: [mm] \bruch{9720804}{\vektor{58 \\ 6}}\ \approx [/mm] 0.240166
b) Nach Voraussetzung seien also unter den 6 Kugeln in der kleinen Urne mindestens 3 blaue und höchstens eine rote. Wir sind also in einem der obigen 7 Fälle (jede Zeile ein Fall).
Der erste Fall (3 blaue, keine rote, 3 andere) hat die W'keit [mm] \bruch{3667920}{9720804} [/mm] und liefert, falls er eintritt, jeweils 3 blaue Kugeln.
Der Erwartungswert für die Anzahl blauer Kugeln (unter den 6 Kugeln der kleinen Urne) ist also insgesamt:
[mm] \bruch{3667920}{9720804}*3 [/mm] + [mm] \bruch{3414960}{9720804}*3 [/mm] + [mm] .........+\bruch{18564}{9720804}*6
[/mm]
Ich erhalte das Ergebnis [mm] \bruch{32180184}{9720804} \approx [/mm] 3.31044469...
Wenn wir also einfach eine einzige Kugel aus der Urne nehmen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies eine blaue Kugel ist:
P (blaue Kugel) [mm] \approx \bruch{3.31044469}{6} \approx [/mm] 0.55174
Uff, das war ein ganzes Stück Arbeit. Nun wollen wir hoffen, dass der Herr Professor dies auch schafft...
Liebe Grüsse und gut' Nacht !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:14 Fr 18.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
Es tut mir echt leid, das du damit so viel Arbeit hattest, aber du hast mir damit echt sehr geholfen!!!!!
Jetzt wo ichs seh ist es mir ganz klar wies geht, aber ich bin vorher echt nicht auf die Idee gekommen den Erwartungswert für eine Blaue Kugel auszurechnen... (hab lang mit bedingter WS' herumgepfuscht, ohne Ergebnis... Schande Schande....)
Vielen lieben Dank!!!!
Liebe Grüße Kathi
|
|
|
| |
|
Hallo Kathi,
dein Lösungsansatz ist gut.
Teilaufgabe b)
Stell dir vor, du hättest alle Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet und zwar
[mm] P_{3,0} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 3 blaue und 0 rote Kugeln,
[mm] P_{3,1} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 3 blaue und 1 rote Kugeln,
[mm] P_{4,0} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 4 blaue und 0 rote Kugeln,
[mm] P_{4,1} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 4 blaue und 1 rote Kugeln,
[mm] P_{5,0} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 5 blaue und 0 rote Kugeln,
[mm] P_{6,1} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 5 blaue und 1 rote Kugeln,
[mm] P_{6,0} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 6 blaue und 0 rote Kugeln,
[mm] P_{6,1} [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 6 blaue und 1 rote Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeiten [mm] P_{3,0} [/mm] und [mm] P_{3,1} [/mm] kann man zusammenfassen zu [mm] P_3 [/mm] =Wahrscheinlichkeit für genau 3 blaue Kugeln, [mm] P_4, P_5 [/mm] und [mm] P_6 [/mm] gehen analog.
Jetzt weißt du: bei 3 blauen Kugeln von 6 insgesamt ist die W.keit, eine blaue zu ziehen gleich [mm] \frac{3}{6}. [/mm] Also ist die Antwort auf Frage b) zusammengefasst
[mm] $P_3\cdot\frac{3}{6}+P_4\cdot\frac{4}{6}+P_5\cdot\frac{5}{6}+P_6\cdot\frac{6}{6}.$
[/mm]
Alles klar? 
Was kommt denn bei der b) raus?
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Fr 18.04.2008 | | Autor: | kathi15 |
Auch dir vielen Dank für deine HIlfe.
Ich bin jetzt zwar vollends verwirrt, aber...
Nach deiner Methode, die mir auch sehr logisch erscheint (das hasse ich an WS': alles ist so "logisch", aber im Endeffekt gibts doch nur eine Lösung und die ist dann meist nicht so logisch... ), komme ich zu dem Ergebnis 0,381943...
Das Ergebnis erscheint mir allerdings gar nicht als logisch, da die WS' zumindest > 0,5 sein müsste weil ja mind 3 von den 6 blau sind...
Deshalb werde ich mich wohl eher an Al-CHwarizimi's Lösungsmethode halten...
Bei Einwänden bitte melden
und nochmals vielen Dank für die Mühe!!!!!
|
|
|
| |
|
liebe kathi15 ,
der von Hugo vorgeschlagene Weg ist im Prinzip identisch mit meinem.
Natürlich ist [mm] P _{6,1} = 0 [/mm] , weil ja nur 6 Kugeln gezogen werden.
Gruss Al-Ch.
|
|
|
|
