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| Aufgabe | Die Wahrscheinlichkeit x, dass ein Atomkern während einer Zeitspanne der Dauer τ > 0 zerfällt,
sei für hinreichend kleine τ durch γτ gegeben. Dabei sei γ > 0 und γτ << 1.
(a) Der Kern wird für ein n ∈ N über eine Zeitspanne der Dauer nτ beobachtet. Falls der Kern
zerfällt, wird festgestellt, in welchem der n Teilintervalle der Dauer τ er zerfällt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit zerfällt er im k-ten Zeitintervall? |
Mich verwirrt total wie groß die Länge der Intervalle sien soll. es müssete ja irgendwie so gehen n/k=γτ aber das ergibt für mich auch keinen sinn.
kann mir jemand einen kleinen tipp in die richtige richtungg geben?
Danke.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 26.03.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Die Wahrscheinlichkeit x, dass ein Atomkern während einer
> Zeitspanne der Dauer τ > 0 zerfällt,
> sei für hinreichend kleine τ durch γτ
> gegeben. Dabei sei γ > 0 und γτ << 1.
> (a) Der Kern wird für ein n ∈ N über eine Zeitspanne
> der Dauer nτ beobachtet. Falls der Kern
> zerfällt, wird festgestellt, in welchem der n
> Teilintervalle der Dauer τ er zerfällt. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit zerfällt er im k-ten Zeitintervall?
> Mich verwirrt total wie groß die Länge der Intervalle sien
> soll.
Die Länge der Intervalle soll [mm] \tau [/mm] sein, da ist nicht Verwirrendes. Jetzt könntest du der Sache ganz schulmäßig mit einem Baumdiagramm beikommen. Auf jeder Stufe gibt es die Möglichkeiten 'Zerfall' oder 'kein Zerfall', und die Wahrscheinlichkeiten dafür kennst du, weil die eine gegeben ist und die andere die Gegenwahrscheinlichkeit ist. Wenn das Teil genau im k-ten Intervall zerfallen soll, muß es (k-1)-mal überleben und im k-ten Intervall zerfallen, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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das heißt die wahrscheinlichkeut wäre dann:
(1-γτ)^(k-1)*(γτ)
wenn das so stimmt ist es echt nicht so schwer :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 26.03.2008 | | Autor: | statler |
> das heißt die wahrscheinlichkeut wäre dann:
>
> (1-γτ)^(k-1)*(γτ)
>
> wenn das so stimmt ist es echt nicht so schwer :)
Hast du da irgendwelche Zweifel?
Dieter
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| Aufgabe | Sei P(t) die Wahrscheinlichkeit, dass der Kern ein Zeitintervall der Dauer t > 0 überlebt.
Zeigen Sie, dass
[mm] \limes_{\tau\rightarrow0} [/mm] P(t)= [mm] e^{-\gamma*t}. [/mm] |
ich habe es mir so ca. überlegt:
[mm] \limes_{\tau\rightarrow0}(1-\tau*\gamma*t)^{1/\tau}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-(\gamma*t)/n)^{n}=e^{-\gamma*t}
[/mm]
wobei ich da eher mich richtung ergebnis geschummelt habe :).
ist das so richtig oder totaler schwachsinn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Do 27.03.2008 | | Autor: | statler |
Schönen guten Morgen!
> Sei P(t) die Wahrscheinlichkeit, dass der Kern ein
> Zeitintervall der Dauer t > 0 überlebt.
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\limes_{\tau\rightarrow0}[/mm] P(t)= [mm]e^{-\gamma*t}.[/mm]
> ich habe es mir so ca. überlegt:
>
> [mm]\limes_{\tau\rightarrow0}(1-\tau*\gamma*t)^{1/\tau}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-(\gamma*t)/n)^{n}=e^{-\gamma*t}[/mm]
>
> wobei ich da eher mich richtung ergebnis geschummelt habe
> :).
>
> ist das so richtig oder totaler schwachsinn?
Die Überlegung scheint mir erstmal richtig zu sein, aber es fehlt natürlich das ganze 'Wieso-warum-weshalb'. Ohne die textuelle Begründung hat das (für mich) keinen Wert.
Gruß aus dem Norden
Dieter
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| Aufgabe | Die Wahrscheinlichkeit x, dass ein Atomkern während einer Zeitspanne der Dauer τ > 0 zerfällt,
sei für hinreichend kleine τ durch γτ gegeben. Dabei sei γ > 0 und γτ << 1.
Sei P(t) die Wahrscheinlichkeit, dass der Kern ein Zeitintervall der Dauer t > 0 überlebt.
Zeigen Sie, dass
$ [mm] \limes_{\tau\rightarrow0} [/mm] $ P(t)= $ [mm] e^{-\gamma\cdot{}t}. [/mm] $ |
sorry hatte vergessen dass ich den ersten Teil dazu posten sollte:
also mein ansatz war dann:
$ [mm] \limes_{\tau\rightarrow0}(1-\tau\cdot{}\gamma\cdot{}t)^{1/\tau}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-(\gamma\cdot{}t)/n)^{n}=e^{-\gamma\cdot{}t} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 28.03.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Die Wahrscheinlichkeit x, dass ein Atomkern während einer
> Zeitspanne der Dauer τ > 0 zerfällt,
> sei für hinreichend kleine τ durch γτ
> gegeben. Dabei sei γ > 0 und γτ << 1.
>
> Sei P(t) die Wahrscheinlichkeit, dass der Kern ein
> Zeitintervall der Dauer t > 0 überlebt.
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\limes_{\tau\rightarrow0}[/mm] P(t)= [mm]e^{-\gamma\cdot{}t}.[/mm]
> sorry hatte vergessen dass ich den ersten Teil dazu posten
> sollte:
>
> also mein ansatz war dann:
>
> [mm]\limes_{\tau\rightarrow0}(1-\tau\cdot{}\gamma\cdot{}t)^{1/\tau}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1-(\gamma\cdot{}t)/n)^{n}=e^{-\gamma\cdot{}t}[/mm]
Also du teilst das Zeitintervall t in n Teile der Dauer t/n =: [mm] \tau. [/mm] Wenn n hinreichennd groß ist, ist die Zerfallswahrscheinlichkeit [mm] \gamma*\tau, [/mm] also die Überlebenswahrscheinlichkeit 1 - [mm] \gamma*\tau. [/mm] Jetzt soll das Ding ja alle n Zeitintervalle überleben, die W. dafür ist dann (1 - [mm] \gamma*\tau)^{n} [/mm] = (1 - [mm] \gamma*(t/n))^{n}. [/mm] Und das geht für n gegen [mm] \infty [/mm] gegen den gewünschten Wert nach Definition von e.
So etwa ...
Dieter
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