Wahrscheinlichkeit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 27.06.2006 | | Autor: | Brinki |
| Aufgabe | In einem fernen Land sind 40 Prozent der Bevölkerung dünn, 30 Prozent haben krumme Beine und 70 Prozent sind Nichtraucher.
Dünne, krummbeinige Raucher gibt es nicht. Jeweils 10 Prozent der Bevölkerung sind krummbeinige Raucher, die nicht dünn sind bzw. krummbeinige Nichtraucher, die nicht dünn sind bzw. Raucher, die nicht dünn sind und keine krummen Beine haben.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person aus diesem Land ein Raucher,falls sie
a)krumme Beine hat,
b)dünn ist
c)krumme Beine hat und nicht dünn ist? |
Ich habe versucht, die Aufgabe mit einem Baumdiagramm zu lösen.
Der Pfad dünn-krummbeinig-Raucher liefert die Wahrscheinlichkeit 0, somit ist die Wahrscheinlichkeit für a) gleich der von c) nämlich 0,1.
Im Teil b) komme ich auf das Ergebnis 0,6*0,7*0,3.
Aber wie sieht es für das Ereignis dünn-krummbeinig-Nichtraucher aus. Je nachdem, wie ich das Baumdiagramm beginne, erhalte ich andere Werte.
krummbeinig-Nichtraucher-dünn: 0,3*0,7*1 oder
Nichtraucher-dünn-krummbeinig: 0,7*0,4*1 ??
Darf man diese Frage nicht stellen? Muss man die Reihenfolge in der Aufgabe (dünn, krummbeinig, Nichtraucher) einhalten? Oder mache ich einen systematischen Fehler?
Vielen Dank für die Hilfe im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Brinki,
> In einem fernen Land sind 40 Prozent der Bevölkerung dünn,
> 30 Prozent haben krumme Beine und 70 Prozent sind
> Nichtraucher.
> Dünne, krummbeinige Raucher gibt es nicht. Jeweils 10
> Prozent der Bevölkerung sind krummbeinige Raucher, die
> nicht dünn sind bzw. krummbeinige Nichtraucher, die nicht
> dünn sind bzw. Raucher, die nicht dünn sind und keine
> krummen Beine haben.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig
> ausgewählte Person aus diesem Land ein Raucher,falls sie
> a)krumme Beine hat,
> b)dünn ist
> c)krumme Beine hat und nicht dünn ist?
> Ich habe versucht, die Aufgabe mit einem Baumdiagramm zu
> lösen.
Das würde ich auch machen, allerdings finde ich, dass für die verschiedenen Aufgabenteil verschieden Baudiagramme sinnvoll sind...
> Der Pfad dünn-krummbeinig-Raucher liefert die
> Wahrscheinlichkeit 0, somit ist die Wahrscheinlichkeit für
> a) gleich der von c) nämlich 0,1.
Das sehe ich anders. In a) bekomme ich auch 0,1 als Ergebnis heraus. Aber warum in c) ebenfalls?
Du hast doch jeweils 10% der Bevölkerung, die krummbeinig, nicht dünn und Raucher bzw. krummbeinig, nicht dünn und Nichtraucher sind. Also sind 20% der Bevölkerung krummbeinig und nicht dünn, wobei davon jeweils die Hälfte Raucher bzw Nichtraucher ist.
Meiner Meinung nach ist daher die Wahrscheinlichkeit in c) 0,5.
> Im Teil b) komme ich auf das Ergebnis 0,6*0,7*0,3.
>
> Aber wie sieht es für das Ereignis
> dünn-krummbeinig-Nichtraucher aus. Je nachdem, wie ich das
> Baumdiagramm beginne, erhalte ich andere Werte.
> krummbeinig-Nichtraucher-dünn: 0,3*0,7*1 oder
> Nichtraucher-dünn-krummbeinig: 0,7*0,4*1 ??
>
Meiner Meinung nach setzt du hier voraus, dass die Ereignisse stochastisch unabhängig sind. (Was sie aber sicher nicht sind.) Die bedingtens Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm unterscheiden sich von den in der Aufgabenstellung gegebenen Wahrscheinlichkeiten. (Wenn 40% der Bevölkerung dünn ist, dann heißt das noch lange nicht, dass auch 40% der Raucher dünn sind.)
> Darf man diese Frage nicht stellen? Muss man die
> Reihenfolge in der Aufgabe (dünn, krummbeinig,
> Nichtraucher) einhalten? Oder mache ich einen
> systematischen Fehler?
>
> Vielen Dank für die Hilfe im voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
Ich habe, wie oben angedeutet, mit verschiedenen Baumdiagrammen hantiert und dann die Bayes-Formel angewendet. Für Aufgabenteil b) ist ein zweistufiges Baumdiagramm nützlich, bei dem die erste Verzweigung "Raucher-Nichtraucher" lautet, die zweite Verzweigung "Dünn-nicht dünn".
Dann kannst du zum Beispiel aus der Aufgabenstellung ablesen, dass der Pfad "Raucher und nicht dünn" die Wahrscheinlichkeit 0,2 haben muss. Folglich ist die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P_{Raucher}(nicht duenn) = \bruch{2}{3} [/mm]
Letztendlich habe ich für b) 0,25 heraus, möchte einen Irrtum aber nicht gänzlich ausschließen. Vielleicht könnte jemand anderes das auch noch mal nachrechnen und das Ergebnis hier posten???
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 27.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Brinki,
da war Zerinbretta schneller, aber ich stimme nicht mit ihr überein und habe keine Lust bei Ihr oder mir nach Fehlern zu suchen.
Du machst da etwas falsch. Mach mal folgendes:
sechs Spalten dünn ja, dünn nein, krumme Beine ja, ... , Raucher nein.
Dann darunter acht Zeilen, in die Kreuze für alle möglichen Kombinationen gesetzt werden. Darunter noch eine Zeile mit den Wahrscheinlichkeiten für dünn ja, dünn nein usw.
In der steht also 0,4 0,6 0,3 0,7 0,3 0,7.
Noch eine Spalte, hinter die einzelnen Zeilen, mit den Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Kombination (dünner krummbeiniger Nichtraucher usw.). Vier Angeben kommen aus dem Text, die restlichen Vier ergeben sich durch Abgleich mit den Summen in der untersten Zeile.
Ergebnis: a) 0,1 b) 0,3 c) 0,2 (mit möglichen Fehlern ob der späten Stunde)
und nun die Tabelle und die auch schon früher angegebenen Ergebnisse:
dünn nicht krumme gerade Nicht- Raucher
dünn Beine Beine Raucher
0,4 0,6 0,3 0,7 0,7 0,3 Summenwahrscheinlichkeiten aus dem ersten Satz
die möglichen Kombinationen der Eigenschaften, mit ihren Wahrscheinlichkeiten
x x x p = a
x x x p = 0, aus dem zweiten Satz
x x x p = b
x x x p = c
x x x p = 0,1 aus dem zweiten Satz
x x x p = 0,1 dto.
x x x p = d
x x x p = 0,1 dto.
Berechnung von d: nicht dünn hat insgesamt p = 0,6. 0,3 sind schon vergeben, bleiben 0,3 für d.
Berechnung von c: Raucher hat insgesamt p = 0,3. 0,2 sind vergeben, bleiben 0,1 für c.
Berechnung von b: gerade Beine hat insgesamt p = 0,7. 0,5 sind vergeben, dabei sind d und c mit eingegangen, bleiben 0,2 für b.
Berechnung von a: Nichtraucher hat insgesamt p = 0,7. 0,6 sind vergeben, bleiben 0,1 für a.
Proben:
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: 0,1 + 0 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 = 1.
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für dünn: 0,1 + 0 + 0,2 + 0,1 = 0,4
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für krumme Beine: 0,1 + 0 + 0,1 + 0,1 = 0,3
Aufgabenteil a:
mit krummen Beinen gibt es Einzeowahrscheinlichkeiten für Nichtraucher zusammen 0,2,
für Raucher zusammen 0,1, damit also 1/3 als gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Aufgabenteil b:
für dünne gibt es Einzelwahrscheinlichkeiten für Nichtraucher zusammen 0,3, für Raucher zusammen 0,1, damit also 1/4 als gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Aufgabenteil c: beide jeweils 0,1, also 1/2 als gesuchte Wahrscheinlichkeit.
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