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Wahrscheinlichkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Do 07.05.2015
Autor: Kosamui

Aufgabe
Von drei Personen schreibt jede (unabhängig von den anderen)
5 verschiedene Zahlen aus {1, 2, ..., 10} auf einen Zettel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Zahlen von niemandem aufgeschrieben werden
(0 ≤ k ≤ 5) ?

Hallo,

kann mir wer hier einen Tipp geben?? Leider weiß ich garnicht wie ich anfangen soll.

Die Grundmenge [mm] \Omega [/mm]  = [mm] {1,...,10}^3 [/mm]

Aber welche Wahrscheinlichkeitsverteiling wende ich hier an? Hat jemand bitte einen Tipp?

LG & danke

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:18 Fr 08.05.2015
Autor: ms2008de

Hallo,

schauen wir uns mal den Fall an k=5:
Wir können ohne Probleme sagen, dass die erste Person nun 5 Zahlen zwischen 1 und 10 vorgibt.
Damit der Fall eintritt, müssen die beiden andern also genau die selben Zahlen gewählt haben.
Die Frage anders ausgedrückt für diesen Fall wäre: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Lotto 5 aus 10 die 2. Person UND 3.Person 5 Richtige haben (Person 1 wäre hier sozusagen die Lostrommel^^) .
Der Fall k=4 tritt ein,
wenn die 2.Person die 5 Zahlen von Person 1 gewählt hat und die 3. Person 4 der 5 Zahlen zuvor und eine weitere ODER die 2.Person hat 4 der 5 Zahlen von Person1 und eine weitere, während die 3. Person von den 6 Zahlen, die Person 1 und Person 2 nun getippt haben, 5 auf dem eigenen Zettel hat.
Wenn du die Fälle für alle weiteren k betrachtest, kommst du zur Lösung...

Für die Aufgabe hilft dir die Formel für hypergeometrische Verteilung in Verbindung mit den Pfadregeln.

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:52 Fr 08.05.2015
Autor: Kosamui

Danke für deinen Tipp.

Ich schau mir grad k=5 an, also dass 5 Zahlen von allen drei geschrieben wurden:

P(X=5)= [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}} *\bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}} [/mm]
Ich habe die Wschkeit der 2. und 3. Person multipliziert, stimmt das?

Bei k=4:
P(X=5)= [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}} *\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}} [/mm]

Passt das so ?

Danke :) GLG


Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Fr 08.05.2015
Autor: ms2008de

Hallo,

> Danke für deinen Tipp.
>  
> Ich schau mir grad k=5 an, also dass 5 Zahlen von allen
> drei geschrieben wurden:
>  
> P(X=5)= [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}} *\bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}}[/mm]
> Ich habe die Wschkeit der 2. und 3. Person multipliziert,
> stimmt das?

>
Das stimmt  

> Bei k=4:
>  P(X=5)= [mm]\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}} *\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}}[/mm]
>
> Passt das so ?

Das stimmt nicht und ich versteh ehrlich gesagt auch deinen Gedankengang nicht.
Schauen wir uns zunächst den Fall an: Person 2 tippt die 5 Zahlen von Person 1 und Person 3 tippt dann 4 der 5 bisher getippten Zahlen:
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}}*\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}} [/mm]
Jetzt noch der Fall für k=4, dass die 2. Person  4 der 5 Zahlen von Person 1 tippt. Dann gibt es insgesamt 6 Zahlen, die dann getippt wurden und die 3. Person wählt 5 ihrer Zahlen aus diesen 6 Zahlen aus...
Also:
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}}*\bruch{\vektor{6 \\ 5}*\vektor{4 \\ 0}}{\vektor{10 \\ 5}} [/mm]

Somit ist die Wk. für k=4:
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ 5}}{\vektor{10 \\ 5}}*\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}}+\bruch{\vektor{5 \\ 4}*\vektor{5 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 5}}*\bruch{\vektor{6 \\ 5}*\vektor{4 \\ 0}}{\vektor{10 \\ 5}} [/mm]

Viele Grüße

Bezug
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