Wahl lin. unabh. Vektoren < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es sei [mm] \IZ_{p}^{n} [/mm] der Vektorraum über einem endlichen Körper. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zufälligen Wahl von k<n Vektoren diese Vektoren linear unabhängig sind?
Hat jemand eine Idee, wie ich das ausrechnen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 15.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hat denn wirklich keiner eine Idee?
Ich grübele schon die ganze zeit. Der gesamter Vektorraum hat ja [mm] $2^n$ [/mm] Elemente. Damit sie lin. unabh. sind, müssen bei allen gewählten k Vektoren die selben n-k Einträge Null sein, sie müssen also einen k-diemensionalen Unterraum erzeugen.
Aber wie komme ich auf die blöden Wahrscheinlichkeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Do 15.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hat denn wirklich keiner eine Idee?
> Ich grübele schon die ganze zeit. Der gesamter Vektorraum
> hat ja [mm]2^n[/mm] Elemente.
nachdem p hier aber eine allgemeine Primzahl ist (nicht unbedingt 2) sind das aber [mm] p^n [/mm] Elemente...
> Damit sie lin. unabh. sind, müssen bei
> allen gewählten k Vektoren die selben n-k Einträge Null
> sein,
Das stimmt für p = 2, im allgemeineren Fall wird das allerdings komplizierter....(s.u.)
> sie müssen also einen k-diemensionalen Unterraum
> erzeugen.
> Aber wie komme ich auf die blöden Wahrscheinlichkeiten?
Allgemein gibt es ja jetzt [mm] (p^n)^k [/mm] Möglichkeiten, irgendwelche k Vektoren zu wählen.
Versuchen wir mal abzuzählen, wie viele Möglichkeiten es gibt, k linear unabhängige Vektoren auszuwählen:
Der erste Vektor [mm] v_1 [/mm] kann noch relativ frei gewählte werden, es darf nur nicht der Nullvektor sein, also [mm] p^n-1 [/mm] Möglichkeiten.
Der zweite Vektor [mm] v_2 [/mm] darf nicht im von [mm] v_1 [/mm] erzeugten Unterraum liegen. der hat aber p Elemente, also gibt es [mm] p^n-p [/mm] Möglichkeiten.
Der dritte darf nicht im von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] erzeugten zweidim. Unterraum liegen, also [mm] p^n-p^2 [/mm] Möglichkeiten
usw. bis zum k-ten Vektor mit [mm] p^n-p^{k-1} [/mm] Möglichkeiten.
Damit solltest Du zumindest den Ansatz für die Wahrscheinlichkeit doch hinkriegen, oder? Ob man das ganze mit ein paar Umformungsricks noch hübsch hinschreiben kann hab ich jetzt auch noch nicht raus....
Gruß
piet
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