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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Fr 23.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Hallo bitte eure Hilfe zu dem Aufgabe
Sei u: [mm] R^n \times R^n \to [/mm] R kalorisch. Zeigen Sie folgendes: [mm] e^u [/mm] kalorisch [mm] \rightarrow [/mm] u konstant.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Fr 23.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo bitte eure Hilfe zu dem Aufgabe
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> Sei u: [mm]R^n \times R^n \to[/mm] R kalorisch. Zeigen Sie
> folgendes: [mm]e^u[/mm] kalorisch [mm]\rightarrow[/mm] u konstant.
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Huhu,
klingt spannend.
Ich kann dir leider nicht viel helfen, aber koenntest du vlt. die Definition angeben, wann eine Funktion $u$ kalorisch genannt wird?
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Fr 23.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Eine Funktion u [mm] \in C^2(U_T) [/mm] heißt kalorisch in [mm] U_T [/mm] , falls [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0 in [mm] U_T [/mm] .
(wobei U [mm] \in \IR^n [/mm] offen, T [mm] \in (0,\infty] [/mm]
[mm] U_T [/mm] : U [mm] \times [/mm] (0,T])
Ich hoffe das hilft dir
lg,
Gökhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 23.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
das scheint relativ einfach zu sein.
[mm] $e^{u}$ [/mm] soll kalorisch sein, also gilt
[mm] $0=\frac{\partial}{\partial t} \left(e^{u}\right) [/mm] - [mm] \Delta \left( e^{u}\right)$.
[/mm]
Nun einfach die Ableitungen unter Beachtung der Kettenregel ausfuehren, [mm] $e^u$ [/mm] ausklammern und ausnutzen, dass $u$ selbst kalorisch ist. Dann bist du auch schon fertig :)
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Fr 23.12.2016 | | Autor: | gkurt |
so einfach war das :)
Danke schön
lg,
gkurt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Sa 24.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Wie sieht eigentlich die zweite Ableitung nach x von [mm] e^u(x,t) [/mm] aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Sa 24.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Wie sieht eigentlich die zweite Ableitung nach x von
> [mm]e^u(x,t)[/mm] aus?
Huhu,
es ist
[mm] $\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}e^u [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial}{\partial x_i} e^u \right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial u}{\partial x_i} e^u\right) [/mm] = [mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} e^u [/mm] + [mm] \left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)^2 e^u [/mm] = [mm] \left[\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} + \left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)^2 \right] e^u$.
[/mm]
Klar soweit!? :)
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Sa 24.12.2016 | | Autor: | gkurt |
[mm] u_t-(u_x^2+u_t^2+u_x_x+u_t_t)=0
[/mm]
am ende bekommt man das oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 24.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> [mm]u_t-(u_x^2+u_t^2+u_x_x+u_t_t)=0[/mm]
>
> am ende bekommt man das oder?
Huhu,
wenn du ne Frage hast, am besten auch als Frage stellen ;) (Hab's ja aber dennoch gesehen.)
Erstens: Haben wir nun eine oder $n$ Raumdimensionen? Ich frage, weil du nun nur Ableitungen nach $x$ stehen hast, aber nicht nach $y$ etc. (bzw. keinen Laplaceoperator). Urspruenglich sollte das Problem doch $n$ - dimensional in $x$ sein, oder?
Zweitens: Wo kommen die hoeheren Zeitableitungen her?
Also ich bekomme
[mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0$.
Gruss,
Chris
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:05 Sa 24.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Sorry ich bin ganz neu in der forum :)
u hängt bei meiner Aufgabe von zwei Variablen ab also x und t, wobei t=Zeit und x ein n-Dimensionale Vektor.Ich glaube deine Lösung ist identisch mit meiner Lösung.
Also wenn $ [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0 $ das gilt dann u ist kalorisch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mo 26.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 25.12.2016 | | Autor: | gkurt |
es ist jetzt so richtig oder?
[mm] u_t-\Delta u=u_x^2+u_t^2 \Rightarrow u_x^2+u_t^2=0 \Rightarrow [/mm] u konstant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 25.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> es ist jetzt so richtig oder?
>
>
> [mm]u_t-\Delta u=u_x^2+u_t^2 \Rightarrow u_x^2+u_t^2=0 \Rightarrow[/mm]
> u konstant
Hmmm,
ich habe dir doch schon geschrieben, dass man nach Einsetzen und Ableiten
$ [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0 $ (*)
bekommt. (Nicht nur [mm] $u_x^2$; [/mm] $x$ ist $n$ dimensional. Der Gradient ist uebrigens als Gradient nach $x$ zu verstehen.)
Ich sehe auch nicht, wie du nun auf [mm] $u_t^2$ [/mm] kommst? Manchmal ist es bestimmt praktisch auch seinen Rechenweg darzulegen.
Naja, ansonsten hast du die richtige Idee gehabt.
Wenn man nun in (*) [mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u=0$ setzt (da $u$ kalorisch ist), bleibt
[mm] $|\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0$
uebrig. Frage hier: was bedeutet das nun fuer $u$?
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Mo 26.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Ableitung einer konstanten Funktion ist Null.
Also u ist dann konstant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mo 26.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Ableitung einer konstanten Funktion ist Null.
> Also u ist dann konstant.
>
Naja, fast....
[mm] $\vec{\nabla} [/mm] u = 0$ heisst erst mal, dass $u$ konstant bzgl. $x$ ist.
Wenn man dann aber noch
[mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0$
sowie die Tatsache, dass $u$ konstant bzgl. $x$ ist, folgt daraus sofort, dass
[mm] $u_t=0$
[/mm]
und damit dann, dass $u$ auch bzgl. $t$ konstant ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:31 Mo 26.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Es gilt aber andere Richtung auch.Also wenn u konstant ist dann [mm] e^u [/mm] kalorisch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mo 26.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Es gilt aber andere Richtung auch.Also wenn u konstant ist
> dann [mm]e^u[/mm] kalorisch.
>
Ist das eine Frage oder eine Aussage?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Di 27.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Das ist eine Aussage :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:52 Do 29.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Hallo Chris84,
Ist das so richtig gemeint für die andere Richtung also für;
Wenn u konstant ist dann [mm] e^u [/mm] kalorisch :
Also da u konstant ist dann die Ableitungen von u ist 0.
wenn man [mm] e^u [/mm] in die Gleichung einsetzt und die Ableitungen durchführt dann bekommt man dass die gleichung gleich 0 ist, also dann [mm] e^u [/mm] ist kalorisch
Danke für deine Hilfe,
lg
gkurt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 29.12.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Chris84,
>
> Ist das so richtig gemeint für die andere Richtung also
> für;
> Wenn u konstant ist dann [mm]e^u[/mm] kalorisch :
>
> Also da u konstant ist dann die Ableitungen von u ist 0.
> wenn man [mm]e^u[/mm] in die Gleichung einsetzt und die Ableitungen
> durchführt dann bekommt man dass die gleichung gleich 0
> ist, also dann [mm]e^u[/mm] ist kalorisch
wenn u konstant ist, so auch [mm] e^u [/mm] . .......
>
> Danke für deine Hilfe,
> lg
> gkurt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 29.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Ist meine Beweis Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 29.12.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Ist meine Beweis Richtig?
Ja, so kann man es machen. Aber es geht eben auch deutlich einfacher, wie Fred geschrieben hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Do 29.12.2016 | | Autor: | gkurt |
Vielen Dank.. Es war sehr nett von euch ;)
lieber Grüße
gkurt
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