Wärmeleitung mit Finiten Volum < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:14 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Bad_Rockk |
| Aufgabe | An zwei Seiten, des dargestellten Werkstücks wird dir Temperatur auf [mm] T_{w1} [/mm] , [mm] T_{w2} [/mm] gehalten; auf zwei weiteren Seiten werden konstante Wärmestromdichten [mm] q_1, q_2 [W/m^{2}] [/mm] eingestellt.
Gesucht ist die Temperaturverteilung im Gleichgewichtszustand. Folgende Stoffwerte sind gegeben: Wärmeleitfähigkeit [mm] \lambda [/mm] [W/mK]. Das Berechnungsgutter ist äquidistant; der Gitterabstand beträgt [mm] \Delta [/mm] x , [mm] \Delta [/mm] y.
Das Abgebildete Werkstück:
ein Rechteck an dessen linker Seite [mm] T_{w1}, [/mm] an der oberen Seite [mm] T_{w2} [/mm] ist. Von unsten strömt [mm] q_1 [/mm] ein, [mm] q_2 [/mm] strömt nach rechts aus dem Rechteck.
Zelle 1(Rechteck) befindet sich mitten im Rechteck, keine Kontakt zu irgendeiner Seite.
Zelle 2(Rechteck) befindet sich im unteren linken Eck. Hat also an ihrer linken Seite [mm] T_{w1} [/mm] und von unten strömt [mm] q_1 [/mm] ein.
1. Geben Sie die Differentiangleichung für Temeratur und die Randbedingungen an
2. Beschreiben Sie das grundsätzliche Vorgehen zur Diskretisierung nach dem Verfahren der finiten Volumen
3. Diskretisieren Sie die von Ihnen aufgestellte Differentialgleichung für Zelle 1. Verwenden Sie hierbei die NSWE-Notation.
4. Wie lautet der Koeffizient auf der Diagonalen und der Source ( rechte Seite des LGS) für das Ergebnis aus Frage 3?
5. Diskretisieren Sie die von Ihnen aufgestellte Differentialgleichung für Zelle 2 und fügen Sie die Randbedingungen hinzu.
6. Wie lautet der Koeffizient auf der Diagonalen und der Source (rechte Seite des LGS) für das Ergebnis aus Frage 5? |
Hier mal mein Lösungsvorschlag:
1.
DGL:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} (\lambda \bruch {\partial T}{\partial x}) [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y} (\lambda \bruch {\partial T}{\partial y}) [/mm] + [mm] S_T [/mm] = 0
Randbedingungen:
[mm] T(T_{w1}) [/mm] = const.
[mm] T(T_{w2}) [/mm] = const.
2. grundsätzliches Vorgehen:
- Lösungsgebiet mit Kontrollvolumen überdecken
- DGL über Volumen integrieren
- Gauss-Theorem anwenden
- Eine Gleichung je Kontrollvolumen formulieren
- Interpolation der Werte an den Flächenmittelpunkten (FMP)
- Differentation. Beziehung der ersten Ableitungen an den FMP
- Randbedingungen einpflegen
3.
[mm] \underbrace{(\bruch {\lambda_w * A_w}{\partial x_{WP}}+\bruch {\lambda_e * A_e}{\partial x_{PE}}+\bruch {\lambda_s * A_s}{\partial y_{SP}}+\bruch {\lambda_n * A_n}{\partial y_{PN}})}_{a_P}*T_P [/mm] = [mm] \underbrace{(\bruch {\lambda_w * A_w}{\partial x_{WP}})}_{a_W}*T_W [/mm] + [mm] \underbrace{(\bruch {\lambda_e * A_e}{\partial x_{PE}})}_{a_E}*T_E [/mm] + [mm] \underbrace{(\bruch {\lambda_s * A_s}{\partial y_{SP}})}_{a_S}*T_S [/mm] + [mm] \underbrace{(\bruch {\lambda_n * A_n}{\partial y_{PN}})}_{a_N}*T_N
[/mm]
[mm] a_P*T_P [/mm] = [mm] a_W*T_W [/mm] + [mm] a_E*T_E+a_S*T_S+a_N*T_N
[/mm]
Sourches hat es in diesem Fall keine, da an den Seitenflächen keine Randbedingungen angegeben sind.
4. Diagonalenkoeffizient: [mm] a_P
[/mm]
Sourche = 0
Bei 5. hänge ich jetzt. Ich weiß nicht, wie ich die Randbedingungen hier einfügen muss?
Wenn ich 5 hätte, dann würde die 6. auch gehen.
Wäre über jede Korrektur meiner bisherigen Lösung und ein Vorschlag zu 5. sehr dankbar. Sitz mit dem Buch CFD von Versteeg da und versuche mir die Sachverhalte zusammen zu reimen. Meine Klassenkammeraden sind genauso ratlos wie ich und der Prof will nicht helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 11.12.2015 | | Autor: | david16892 |
Hallo Bad_Rock
wir schreiben am Montag eine Numerik Klausur und es wird höchstwahrscheinlich exakt deine hier gestellte Aufgabe drankommen.
Ich weiß es ist schon lange her...aber hast vllt noch zufällig die Lösung zu der Aufgabe und könntest diese mir per Mail schicken? Das wäre super!
Mail: david.werblow@gmx.de
viele grüße
david
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 08.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
zunächst mal finde ich das eine richtig interessante Aufgabe!
Ich habe zwar keine Ahnung von der FVM, aber ich habe versucht aus deinen Lösungsansätzen schlau zu werden. Du beschreibst die Energiebilanz in einer Zelle indem du untersuchst, was pro Zeiteinheit durch die Zellwände ein- und auströmt, sehe ich das rchtig?
Dann müsstest du bei 5) beachten, dass am westlichen Rand der Zelle die Temperatur konstant ist, d.h. keine Änderung der Energie, und duch den südlichen Rand ein konstanter Wärmestrom zufließt d.h. konstante Energiezufuhr.
Vielleicht hilft dir das weiter, aber wie gesagt, ich bin da kein Experte!
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Hallo zahllos,
Ja, das ist der Ansatz. Schön, dass der zu erkennen ist.
stimmt, wenn ich konstante Temperatur habe, dann ist meine Änderung Null. Da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.  Danke.
Trotzdem weiß ich nicht, wie ich die konstante Wärmestromdicht da mit einbeziehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 10.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
Was ist das [mm] $S_T$ [/mm] in Deinem Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Do 11.02.2010 | | Autor: | Bad_Rockk |
Das [mm] S_T [/mm] steht für einen Source-Therm, also für eine mögliche Quelle.
Ist in der ersten Formel noch enthalten, da sie allgemein ist. in der späteren Formel ist sie nicht mehr enthalten, da es keine Quellen bei Zelle 1 gibt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 25.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Do 25.02.2010 | | Autor: | Bad_Rockk |
Hallo zusammen,
ich bin immernoch an der Lösung der Aufgabe interessiert.
Gruß Tim
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