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| Aufgabe | Auf einem See breiten sich Algen exponentiell aus. Zu Beobachtungsbeginn bedecken die Algen eine Fläche von 40 qm, nach zwei Tagen sind es 44,1 qm.
a. Bestimmen Sie die Funktion, die das Algenwachstum beschreibt.
b. Geben Sie an, um wie viel Prozent die Algenfläche pro Tag zunimmt.
c. Berechnen Sie, wie groß die Algenfläche nach 10 Tagen ist.
d. Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich die Algenfläche verzehnfacht hat.
e. Berechnen Sie die durchschnittliche Algenfläche in den ersten 100 Tagen
f. Berechnen Sie, ab wann die Algenfläche pro Tag um mindestens 10qm zunimmt.
g. Auf einem zweiten See wachsen Algen gemäß der Funktion g(x)=20 * [mm] \cdot \*1,1 [/mm] ^x.
Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Algenteppiche auf beiden Seen gleich groß sind und berechnen Sie diese Größe
h. Auf einem dritten See bedecken die Algen zwei Tage nach Beobachtungsbeginn eine Fläche von 13,23qm, nach 5 Tagen sind es 20,11qm. Bestimmen Sie die Wachstumsfunkion h(x).
i. Berchnen Sie für den dritten See, wie Quadratmeter Algen am Ende eines Tages mind abgeschöpft werden müssen, damit der See nicht zuwächst. |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich vornehmlich auf die Teilfragen e, f und i.
Alle anderen konnte ich lösen und gehe davon aus, dass sie stimmen. Vielleicht könnt Ihr da ja nochmal drüber gucken und mir bei e, f, und in einen Tipp geben.
a. f(X)=40 [mm] \times1,05^x
[/mm]
b. 5 Prozent
c. 10 einsetzen in f(x) ergibt 65,16qm
d. 400 einsetzen für y ergibt mit log dann 47,19 Tage
e.
f.
g. Gleichsetzen von f(x) und g(x) und nach x auflösen. Ergibt für x=14,9 und dementsprechend für y=82,75
h. Gegeben sind zwei Punkte, die ich mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens umforme, um dann c zu berechnen. c=1,15, danach noch einsetzen und h(x)=10 [mm] \times1,15^x
[/mm]
Ich hoffe, bis hierhin ist alles ok und Ihr könnt mir bei den drei anderen Sachen helfen. Ich habe keine Ahnung, ob wir sowas jemals gemacht haben..
Freue mich, von Euch zu hören und sage schonmal danke für Eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Do 21.05.2020 | | Autor: | chrisno |
a, b, c, d, g, h kann ich bestätigen.
e: Durchschnitt meint Mittelwert. Den Mittelwert berechnest du mit dem Integral. (Das muss ja auch mal in einer Aufgabe vorkommen)
f: Ich finde es hier angemessen, ganzzalige Werte für x auszuprobieren. Das ist eine korrekte mathematische Methode. Zumindest rate ich es dir, wenn dir sonst nichts einfällt.
Es geht aber auch mit dem Integral. Nenne die untere Grenze d. Dann ist die obere Grenze d+1.
Das Integral soll den Wert 10 bekommen.
i: Berechne allegemein das Integral wie bei f.
d bleibt eine Variable. Je länger man das Zeug wachsen lässt, um so mehr muss man täglich abschöpfen um es in schach zu halten.
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Chrisno, danke für Deine Nachricht.
Ich bin etwas sprachlos, dass wir mit Integralen arbeiten müssen. Wir haben bis jetzt nur Integrale angerissen.
Und wie funktionert das mit einer Exponentialfunktion?
Einfach von 100 bis 0 integrieren mit f(X)? Da kommt ja ne riesige Zahl raus, selbst wenn ich sie noch durch 100 teile.
Ich glaube, ich brauche da bitte nochmal Unterstützung..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Fr 22.05.2020 | | Autor: | chrisno |
> Chrisno, danke für Deine Nachricht.
> Ich bin etwas sprachlos, dass wir mit Integralen arbeiten
> müssen. Wir haben bis jetzt nur Integrale angerissen.
Das ist dann schon sportlich. Allerdings bracuhst du nur wenig.
> Und wie funktionert das mit einer Exponentialfunktion?
[mm] $\int_a^{b} e^{x * c} [/mm] dx = [mm] \left[ \br{1}{c} e^{x * c} \right]_a^b$ [/mm] Das c kommt beim Ableiten aus der inneren Ableitung als Faktor davor. Daher muss man es bei der Stammfunktion als Nenner davor schreiben.
> Einfach von 100 bis 0 integrieren mit f(X)? Da kommt ja ne
> riesige Zahl raus, selbst wenn ich sie noch durch 100
> teile.
Mittelwert $= [mm] \br{1}{b-a}\int_a^b [/mm] f(x) dx$
> Ich glaube, ich brauche da bitte nochmal Unterstützung..
So groß sind die Zahlen nun auch wieder nicht.
[mm] $\br{1}{100}\int_0^{100} [/mm] 40 * [mm] e^{x * ln(1,05)} [/mm] dx = ..... [mm] \approx [/mm] 1078$
falls ich mich nicht mal wieder verrrechnet habe.
Zum Vergleich kannst Du die Fläche nach 100 Tagen berechnen. Der MIttelwert muss auf jeden Fall kleiner sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Fr 22.05.2020 | | Autor: | statler |
Hi!
> f: Ich finde es hier angemessen, ganzzalige Werte für x
> auszuprobieren. Das ist eine korrekte mathematische
> Methode. Zumindest rate ich es dir, wenn dir sonst nichts
> einfällt.
Der Operator in diesem Aufgabenteil ist berechnen, deswegen würde probieren mittels Wertetabelle wohl Punktabzüge ergeben. Für den Operator bestimmen wäre es in Ordnung. Deinem Ratschlag stimme ich aber völlig zu.
Gruß Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Fr 22.05.2020 | | Autor: | meili |
Hallo Morticia1611,
> Auf einem See breiten sich Algen exponentiell aus. Zu
> Beobachtungsbeginn bedecken die Algen eine Fläche von 40
> qm, nach zwei Tagen sind es 44,1 qm.
> a. Bestimmen Sie die Funktion, die das Algenwachstum
> beschreibt.
> b. Geben Sie an, um wie viel Prozent die Algenfläche pro
> Tag zunimmt.
> c. Berechnen Sie, wie groß die Algenfläche nach 10 Tagen
> ist.
> d. Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich die Algenfläche
> verzehnfacht hat.
> e. Berechnen Sie die durchschnittliche Algenfläche in den
> ersten 100 Tagen
> f. Berechnen Sie, ab wann die Algenfläche pro Tag um
> mindestens 10qm zunimmt.
> g. Auf einem zweiten See wachsen Algen gemäß der
> Funktion g(x)=20 * [mm]\cdot \*1,1[/mm] ^x.
> Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Algenteppiche auf
> beiden Seen gleich groß sind und berechnen Sie diese
> Größe
> h. Auf einem dritten See bedecken die Algen zwei Tage nach
> Beobachtungsbeginn eine Fläche von 13,23qm, nach 5 Tagen
> sind es 20,11qm. Bestimmen Sie die Wachstumsfunkion h(x).
> i. Berchnen Sie für den dritten See, wie Quadratmeter
> Algen am Ende eines Tages mind abgeschöpft werden müssen,
> damit der See nicht zuwächst.
> Hallo zusammen,
> meine Frage bezieht sich vornehmlich auf die Teilfragen e,
> f und i.
> Alle anderen konnte ich lösen und gehe davon aus, dass
> sie stimmen. Vielleicht könnt Ihr da ja nochmal drüber
> gucken und mir bei e, f, und in einen Tipp geben.
> a. f(X)=40 [mm] \times1,05^x[/mm]
> b. 5 Prozent
> c. 10 einsetzen in f(x) ergibt 65,16qm
> d. 400 einsetzen für y ergibt mit log dann 47,19 Tage
> e.
Da nach dem Durchschnitt der ersten 100 Tage gefragt ist, hätte ich
für die 100 Tage die maximale Fläche für jeden Tag aufsummiert und dann
durch 100 geteilt.
Die Summe ist eine endliche, geometrische Summe.
Aber Berechnung mit Integral und diskret für jeden Tag müsste annähernd dasselbe
Ergebnis liefern.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Mittelwert einer Funktion und Stammfunktion von Exponentialfunktion
> f.
Nachtrag:
Berechnen geht hier auch.
$f(x) = [mm] 40*1,05^x$ [/mm] ist die Fläche am Tag x
$f(x+1) = [mm] 40*1,05^{x+1}$ [/mm] ist die Fläche am nächsten Tag
Differenz der beiden ist die Zunahme an einem Tag.
Mit Ausklammern und ein bißchen weiterrechen, lässt sich diese Gleichung
ähnlich wie bei d. lösen.
> g. Gleichsetzen von f(x) und g(x) und nach x auflösen.
> Ergibt für x=14,9 und dementsprechend für y=82,75
> h. Gegeben sind zwei Punkte, die ich mit Hilfe des
> Gleichsetzungsverfahrens umforme, um dann c zu berechnen.
> c=1,15, danach noch einsetzen und h(x)=10 [mm] \times1,15^x[/mm]
>
> Ich hoffe, bis hierhin ist alles ok und Ihr könnt mir bei
> den drei anderen Sachen helfen. Ich habe keine Ahnung, ob
> wir sowas jemals gemacht haben..
> Freue mich, von Euch zu hören und sage schonmal danke
> für Eure Hilfe
Gruß
meili
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