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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 31.01.2005 | | Autor: | n0l0x |
Guten Tag,
die folgende Aufgabe bereitet mir sehr große Probleme. Es tut mir leid, dass ich einfach nur die AUfgabenstellung poste, aber mit einem Ansatz oder selbst mit einer Idee kann ich leider nicht dienen. Ich hoffe, dass mir dennoch geholfen wird!
Bei einem Wachstumsprozess ist der Momentanbestand [mm] n_{k}(t) [/mm] zum Zeitpunkt t Sekunden gegeben durch
[mm] n_{k}(t)=k*e-k*e^{-t} [/mm] ; k>0, t [mm] \ge0
[/mm]
für welche Werte von k ist der Anfangsbestand [mm] n_{k}(0) [/mm] größer als [mm] 10^{6}?
[/mm]
In der Zeit von t=0 bis [mm] t=t_{1} [/mm] soll [mm] n_{k}(t) [/mm] um die Hälfte des Anfangsbestandes anwachsen.
Zeigen Sie, dass [mm] t_{1} [/mm] nicht von k abhängt.
Geben Sie [mm] t_{1} [/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> Guten Tag,
> die folgende Aufgabe bereitet mir sehr große Probleme. Es
> tut mir leid, dass ich einfach nur die AUfgabenstellung
> poste, aber mit einem Ansatz oder selbst mit einer Idee
> kann ich leider nicht dienen. Ich hoffe, dass mir dennoch
> geholfen wird!
>
> Bei einem Wachstumsprozess ist der Momentanbestand [mm]n_{k}(t)[/mm]
> zum Zeitpunkt t Sekunden gegeben durch
> [mm]n_{k}(t)=k*e-k*e^{-t}[/mm] ; k>0, t [mm]\ge0
[/mm]
> für welche Werte von k ist der Anfangsbestand [mm]n_{k}(0)[/mm]
> größer als [mm]10^{6}?
[/mm]
> In der Zeit von t=0 bis [mm]t=t_{1}[/mm] soll [mm]n_{k}(t)[/mm] um die
> Hälfte des Anfangsbestandes anwachsen.
> Zeigen Sie, dass [mm]t_{1}[/mm] nicht von k abhängt.
> Geben Sie [mm]t_{1}[/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo n0l0x,
dann versuchen wir es doch mal. Also fangen wir mit der ersten Frage an.
> für welche Werte von k ist der Anfangsbestand [mm]n_{k}(0)[/mm]
> größer als [mm][mm] 10^{6}?
[/mm]
Hmm, überlegen wir uns doch zuerst, wie viel Zeit am Anfang vergangen ist und kommen zu dem Ergebnis,
dass am Anfang keine Zeit vergangen ist, also [mm] $t_{Anfang}=0$.
[/mm]
Also ist die Frage: Wann gilt $ [mm] n_{k}(0)=k\cdot{}e-k\cdot{}e^{0}>10^6 [/mm] $ ?
Noch etwas umformen und unser Ergebnis zeigt sich.
So weiter zur nächsten Frage. Hier heißt es ja:
>In der Zeit von t=0 bis $ [mm] t=t_{1} [/mm] $ soll $ [mm] n_{k}(t) [/mm] $ um die Hälfte des Anfangsbestandes anwachsen.
Das bedeutet nichts anderes, als das [mm] $n_{k}(t_1)$ [/mm] das Gleiche ist wie [mm] $1,5*n_{k}(0)$ [/mm] .
Oder als Gleichung:
[mm] $n_{k}(t_1) [/mm] \ = \ 1,5 * [mm] n_{k}(0)$
[/mm]
Jetzt solltest du eigentlich keine großen Probleme mehr haben.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 31.01.2005 | | Autor: | n0l0x |
Ok, so weit so gut. Danke erst einmal für deine Hilfe.
Ich habe vergessen, es ist zu beweisen, dass [mm] t_{1} [/mm] nicht von k abhängig ist und, dass [mm] t_{1} [/mm] als Ergebnis auf die zweite Dezimale gerundet angegeben werden soll.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, hängt aber nach deinem Ansatz [mm] t_{1} [/mm] von k ab, oder habe ich da etwas falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo n0l0x!
> Ich habe vergessen, es ist zu beweisen, dass [mm]t_{1}[/mm] nicht
> von k abhängig ist und, dass [mm]t_{1}[/mm] als Ergebnis auf die
> zweite Dezimale gerundet angegeben werden soll.
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, hängt aber nach
> deinem Ansatz [mm]t_{1}[/mm] von k ab, oder habe ich da etwas falsch
> verstanden?
Im ersten Ansatz (d.h. bei der Bestimmungsgleichung) steckt natürlich noch der Parameter $k$ in der Gleichung.
Dieses $k$ sollte aber bei der Bestimmung von [mm] $t_1$ [/mm] irgendwann verschwinden ...
Hast Du es mal mit den Ansätzen von Fugre probiert und bereits einige Ergebnisse erhalten?
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 31.01.2005 | | Autor: | n0l0x |
Danke an Fugre und Loddar.
Bei mir ist jetzt [mm] t_{1}=e.
[/mm]
Nur bei der Ungleichung [mm] (k*e-k>10^{6}) [/mm] bin ich mir nicht sicher, ob man das noch weiter vereinfachen kann.
Find ich übrigens toll, dass auch Leuten, die zu Unrecht im Mathe-LK sitzen, hier geholfen wird!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Bei mir ist jetzt [mm]t_{1}=e[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da habe ich etwas anderes raus ... (Kontrollergebnis: [mm] $t_1 [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1,96$)
Wie sieht denn Dein Rechenweg aus?
Oder: Mach' doch mal die Probe und setze Deinen Wert [mm] $t_1 [/mm] = e$ in die gegebene Funktionsvorschrift [mm] $n_k(t) [/mm] \ = \ k*e - [mm] k*e^{-t}$ [/mm] ein.
> Nur bei der Ungleichung [mm](k*e-k>10^{6})[/mm] bin ich mir nicht
> sicher, ob man das noch weiter vereinfachen kann.
Naja, du mußt noch etwas weitermachen.
Schließlich soll ja ein Ergebnis $k > ...$ am Ende dastehen. Es ist nach einer konkreten Zahl für $k$ gefragt.
> Find ich übrigens toll, dass auch Leuten, die zu Unrecht
> im Mathe-LK sitzen, hier geholfen wird!
Hier wird JEDEM geholfen, der nett fragt und sich an die Foren-Regeln hält ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 31.01.2005 | | Autor: | n0l0x |
Also ich weiß auch nicht, hab im Moment ein sehr großes Brett vor dem Kopf. Es kann doch nich so schwer sein zwei popelige Gleichungen aufzulösen, aber ich komm im Moment einfach nicht weiter...
Tut mir leid. Wäre nett, wenn du mir noch ein paar Tipps geben könntest und wenn nicht, dann ist es auch nicht so schlimm! Hab ja schon genug von deiner Freizeit in Anspruch genommen, ich resigniere...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend ...
Fangen wir mal mit der leichteren Sache an!
Wir wollen zeigen:
[mm] $n_k(0) [/mm] \ = \ k*e - k \ = \ k*(e-1) \ > [mm] 10^6$
[/mm]
Nun teilen wir auf beiden Seiten durch $(e-1) > 0$ und erhalten:
$k \ > [mm] \bruch{10^6}{e-1} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 581.977$
Klar??
Und nun zur zweiten Aufgabe:
Wir wollen/sollen zeigen:
[mm] $n_k(t_1) [/mm] \ = \ 1,5 * [mm] n_k(0)$ $(\star)$
[/mm]
Gehen wir schrittweise vor:
[mm] $n_k(0) [/mm] \ = \ k*(e-1)$ (siehe oben)
[mm] $n_k(t_1) [/mm] \ = \ k*e - [mm] k*e^{-t_1} [/mm] \ = \ [mm] k*\left( e - e^{-t_1} \right)$
[/mm]
Und nun einsetzen in [mm] $(\star)$ [/mm] :
[mm] $\underbrace{k*\left( e - e^{-t_1} \right)}_{=n_k(t_1)} [/mm] \ = \ 1,5 * [mm] \underbrace{k*(e - 1)}_{=n_k(0)}$
[/mm]
Nun durch $k$ teilen.
Dies dürfen wir, da gemäß Aufgabenstellung gilt: $k > 0$ !!
[mm] $\gdw$
[/mm]
$e - [mm] e^{-t_1} [/mm] \ = \ 1,5 * (e - 1) \ = \ 1,5*e - 1,5$
Nun müssen wir "nur noch" nach [mm] $t_1$ [/mm] auflösen.
Bekommst Du das nun alleine hin?
Kontrollergebnis (bitte nachrechnen): [mm] $t_1 [/mm] \ = \ - ln(1,5 - 0,5*e) \ [mm] \approx [/mm] 1,96$
Gruß
Loddar
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