Wachstum & Exponentialfunktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 23.02.2006 | | Autor: | xilef |
| Aufgabe | Der Luftdruck y, gemessen in Hektopascal, ist bei konstanter Wetterlage abhängig von Höhe x des Ortes, gemessen in Metern über dem Meeresspiegel. Er läßt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit der Gleichung [mm] y = a \* 2^{kx} [/mm] beschreiben.
a) An einem Tag werden die folgende Werte gemessen:
Feldberg Höhe: (x) 1495 & Luftdruck: (y) 842
Freiburg Höhe: (x) 287 & Luftdruck: (y) 980
Zeige durch Einsetzen, das an diesem Tag [mm] a \approx 1016 [/mm] und [mm] k \approx - 1,813 \*10^{-4} [/mm] gilt.
b) Wie groß ist an diesem Tag der Luftdruck in dem 95 m hoch gelegenen Mannheim?
Wie hoch müßte dort ein Ballon aufsteigen, damit der Luftdruck am Ort des Ballons nur noch halb so groß ist wie am Boden?
c) In einer Nährungsrechnung geht man davon aus, daß der Luftdruck y im betrachteten Höhenbereich linear mit der Höhe x abnimmt.
Gib mit Hilfe der Tabellenwerte aus Teilaufgabe a) eine Gleichung an, mit der man den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe berechnen kann.
Welche Luftdruck erhält man damit für Mannheim?
Um wieviel Prozent weicht dieser Wert von dem in Teilaufgabe b berechneten ab?
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Hallo Liebe Helfer  ,
Teilaufgabe a) ist soweit eingesetzt von mir und berechnet und hat die Ergebnisse der Tabelle bestätigt. Dürfte demnach richtig sein!
Bei Teilaufgabe b) habe ich die erste Frage auch schon beantwortet und zwar habe ich einen ungefähren [mm] Luftdruck = 1004[/mm] .Das Ergebnis ist richtig, oder?
Bei der zweiten Frage der Teilaufgabe
b) - Wie hoch müßte dort ein Ballon aufsteigen, damit der Luftdruck am Ort des Ballons nur noch halb so groß ist wie am Boden?
Bin ich mir nicht ganz sicher wie ich das berechnen soll. Ich denke an eine leichte Formelmodifikation -umstellung von folgender Formel: [mm] y = a \* 2^{kx} [/mm]
Zuerst für [mm] \bruch{1}{2}y [/mm] und dann die Formel nach x auflösen?? - Mir ist nur etwas schleierhaft derzeit wie ich nach x auflöse, weil es in der Formel ja eine Hochzahl ist.
Lösungsanregungen- vorschläge sind Herzlich Willkommen! 
c)
Bei c) würde ich mit dem linearen Wachstum zuert den Luftdrucks Mannheims ausrechnen und danach schauen um wieviel Prozent dieser Wert von dem in Teilaufgabe b) abweicht.
Lineares Wachstum: [mm] B(t) = m \* t + c [/mm]
Stehe derzeit wie gewöhnlich denke ich einfach nur ein bisschen auf dem Schlauch und mache es ein bisschen zu kompliziert. Ich komme nämlich gerade einfach nicht darauf was B(t), m, t und c ist. Vielleicht bin ich mit meinem Ansatz Lineares Wachstum aber auch komplett auf dem Holzweg, aber in der Aufgabenstellung steht etwas von linear daher schließe ich auf das lineare Wachstum und die Formel.
Ich hoffe einer von euch kann mir einen kleinen Denkanstoss geben.
Bitte erklärt es nachvollziehbar und nimmt euch lieber eine Halbestunde später etwas mehr Zeit als mir kurz irgendwas hinzuwerfen. Denn ich möchte es verstehen/nachvollziehen können und nicht nur die Lösung haben. Also Bitte bei euren Rechnungen auch erklären, z.B. wie man auf eine Formel kommt! Ich werde euch sehr dankbar dafür sein!
Ich hoffe meine Ausführungen sind nachvollziehbar. Ansonsten nachfragen!
Genug geredet - Ich freue mich auf eure Antworten!
Liebe Grüße, xilef
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Hi!
Zu Teil b:
Die Werte a und k entnimmst du Aufgabenteil a) und stellst damit die Funktion neu auf (müsstest du für b) erster Teil auch schon gemacht haben)
[m]y=1016*2^{-1,813*10^{-4}*x}[/m]
Den Bodenwert hast du gerade ausgerechnet ([m]\approx 1004[/m], hab ich jetzt nicht überprüft...), der Wert in der gesuchten Höhe muss also, wie du schon richtig angesetzt hast, die Hälfte davon betragen.
Damit ergibt sich für die gesuchte Höhe [m]x[/m] ein $ y $ von [mm] {m}\approx [/mm] 502{/m}. Jetzt kommt dein Problem: Die Funktion [m]502=1016*2^{-1,813*10^{-4}*x}[/m] muss nach $ x $ aufgelöst werden.
Dazu brauchst du die Umkehrfunktion zur $ [mm] 2^x [/mm] $-Funktion, also den Logarithmus zur Basis 2 ([m]\log _2[/m]), vom Prinzip das selbe, wie wenn du eine quadratische Gleichung durch Wurzelziehen auflöst.
Also, auf beiden Seiten $ [mm] \log [/mm] _2$ ziehen (vorher noch die $ 1016 $ auf die andere Seite bringen) ergibt:
[m]\log _2 {\bruch{502}{1016}}=-1,813*10^{-4}*x[/m], und dass tippst du jetzt am besten in den Taschenrechner ein (Achte auf die Basis des Logarithmus, bei Rückfragen posten).
Noch kurz zu c)
Dein Ansatz ist richtig, ich erklär dir kurz die Variablen und Konstanten. Dein $ t $ ist die Höhe, $ B(t) $ dann der Luftdruck an der entsprechenden Höhe. Die beiden Konstanten (Steigung und y-Achsen-Abschnitt) erhälst du durch einsetzen von zwei Punkten, da musst du wie in der Aufgabenstellung verlangt die Tabellenwerte aus a) einsetzen ($ x $ für $ t $ und $ y $ für $ f(t) $. Wenn du da nicht mit klarkommst, melde dich...
MfG
Bjoern
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 23.02.2006 | | Autor: | xilef |
Hallo,
vielen Dank hat mich auf jedenfall schon einmal ein Stück weiter gebracht!
b)
Meine Frage zu b) - Das ist doch bis jetzt noch gar nicht ganz auf x aufgelöst (
$ [mm] \log [/mm] _2 [mm] {\bruch{502}{1016}}=-1,813\cdot{}10^{-4}\cdot{}x [/mm] $) denn muss ich -1.813 * 10^-4 nicht auch noch auf die Linke Seiten bringen? Kannst du mir oder jemand anderes noch einmal die Gleichung für x = sagen bzw. wie genau ich vorgehen muss.
c)
Habe jetzt folgende 2. Gleichungen aufgestellt:
1. Gleichung [mm] 842 = m \* 1495 + c [/mm]
2. Gleichung [mm] 980 = m \* 287 + c [/mm]
Ich weiß gerade nur nicht, wie ich dann die 2. Gleichungen noch einmal verwende um auf eine der Unbekannten Konstanten (m oder c) zukommen. Ich weiß das ich erst eine ausrechnen muss um die Andere ausrechnen zu können. Wäre über einen Denkanstoß dankbar!
Ansonsten gut erklärt und vielen Dank für deine Bisherige Hilfe!
Ich wünsche allen noch einen angenehmen Abend!
Liebe Grüße,
xilef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo xilef,
> Hallo,
>
> vielen Dank hat mich auf jedenfall schon einmal ein Stück
> weiter gebracht!
>
> b)
>
> Meine Frage zu b) - Das ist doch bis jetzt noch gar nicht
> ganz auf x aufgelöst (
> [mm]\log _2 {\bruch{502}{1016}}=-1,813\cdot{}10^{-4}\cdot{}x [/mm])
> denn muss ich -1.813 * 10^-4 nicht auch noch auf die Linke
> Seiten bringen?
Genau! Du dividierst noch durch [mm] -1,813\cdot{}10^{-4}, [/mm] und erhälst:
[mm] x = \bruch{\log _2 {\bruch{502}{1016}}}{-1,813\cdot{}10^{-4}} [/mm]
Allerdings habe ich für Mannheim einen Druck von 902, kann mich aber auch verrechnet oder vertippt haben.
> Kannst du mir oder jemand anderes noch
> einmal die Gleichung für x = sagen bzw. wie genau ich
> vorgehen muss.
>
> c)
>
> Habe jetzt folgende 2. Gleichungen aufgestellt:
>
> 1. Gleichung [mm]842 = m \* 1495 + c [/mm]
> 2. Gleichung [mm]980 = m \* 287 + c [/mm]
>
> Ich weiß gerade nur nicht, wie ich dann die 2. Gleichungen
> noch einmal verwende um auf eine der Unbekannten Konstanten
> (m oder c) zukommen. Ich weiß das ich erst eine ausrechnen
> muss um die Andere ausrechnen zu können. Wäre über einen
> Denkanstoß dankbar!
Am einfachsten verwendest du das Additions (_bzw. Subtraktions-)verfahren:
[mm] 842-980 = (1495-287) m [/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Gruß
Sigrid
>
> Ansonsten gut erklärt und vielen Dank für deine Bisherige
> Hilfe!
>
> Ich wünsche allen noch einen angenehmen Abend!
>
> Liebe Grüße,
> xilef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Fr 24.02.2006 | | Autor: | xilef |
Hallo Sigrid,
ich bin noch selber darauf gekommen. Trotzdem Vielen Dank!
Also der Luftdruck von Mannheim, dabei müsstest du dich vertippt haben. Denn der Luftdruck wurde heute in der Schule von der Lehrerin bestätigt. Ist jetzt ja aber auch nicht so relevant ob du dich vertippst hast oder nicht.
Vorallem bei c) stand ich nun wirklich sehr stark auf dem Schlauch weil ich nicht an das Subtrahieren gedacht hat sondern nur an das Additions-Verfahren. Denn durch Subtrahieren kam man prima weiter!
Schlussendlich: Vielen Dank für eure Hilfe!
Werde euch auf jedenfall noch weiterhin mit meinen mal weniger mal mehr dummen Fragen löchern. Einfach klasse die Hilfe hier!
Liebe Grüße,
xilef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Fr 24.02.2006 | | Autor: | xilef |
Entschuldigung letzter Beitrag von mir vor diesem sollte eigentlich eine Antwort sein und keine Frage!
Liebe Grüße,
xilef
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