W-Mass/Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 11.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Ein W-Maß ist durch die Angabe seiner Verteilungsfunktion eindeutig festgelegt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
kann mir bitte jemand diesen Sachverhalt anhand eines Beispiels erläutern ?
Als Beispiel sei z.B. gewählt:
2 Würfel
Ausgangsraum [mm] \Omega:=\{(k,l)|k,l \in \IN_6 \} [/mm]
Ereignissystem [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm]
Abbildung [mm] T:\Omega \to \Omega', T(k,l)=k+l [/mm]
also ist [mm] \Omega'=\{2,..,12\}[/mm]
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne!
> Ein W-Maß ist durch die Angabe seiner Verteilungsfunktion
> eindeutig festgelegt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dies ist ein Spezialfall von: Ein Mass ist durch die Werte auf einem Erzeugendensystem der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] bereits festgelegt.
> kann mir bitte jemand diesen Sachverhalt anhand eines
> Beispiels erläutern ?
>
> Als Beispiel sei z.B. gewählt:
> 2 Würfel
> Ausgangsraum [mm]\Omega:=\{(k,l)|k,l \in \IN_6 \}[/mm]
Was fuer ein Mass hast du hier? Eine Gleichverteilung?
> Ereignissystem [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> Abbildung [mm]T:\Omega \to \Omega', T(k,l)=k+l[/mm]
> also ist
> [mm]\Omega'=\{2,..,12\}[/mm]
Nun, die Verteilungsfunktion ist ja hier $F(x) = P(T [mm] \le [/mm] x)$. Diese ist eine Treppenfunktion:
- fuer $x [mm] \in (-\infty, [/mm] 2)$ gilt $F(x) = 0$ (da $T [mm] \ge [/mm] 2$ ist);
- fuer $x [mm] \in [/mm] [2, 3)$ gilt $F(x) = P(T = 2) = [mm] \frac{1}{36}$;
[/mm]
- fuer $x [mm] \in [/mm] [3, 4)$ gilt $F(x) = P(T = 3) = [mm] \frac{2}{36}$;
[/mm]
...
Daraus, dass $F$ eine Treppenfunktion ist, folgt, dass das Bildmass auf [mm] $\Omega' \subseteq \IR$ [/mm] diskret ist. Insbesondere folgt $P(T = n) = F(n) - F(n-1)$ fuer $n [mm] \in \Omega'$, [/mm] womit die Verteilung von $T$ eindeutig durch die Verteilungsfunktion $F$ bestimmt wird.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 12.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Aber so ganz verstehe ich es noch nicht:
> Nun, die Verteilungsfunktion ist ja hier [mm]F(x) = P(T \le x)[/mm].
> Diese ist eine Treppenfunktion:
> - fuer [mm]x \in (-\infty, 2)[/mm] gilt [mm]F(x) = 0[/mm] (da [mm]T \ge 2[/mm] ist);
> - fuer [mm]x \in [2, 3)[/mm] gilt [mm]F(x) = P(T = 2) = \frac{1}{36}[/mm];
>
> - fuer [mm]x \in [3, 4)[/mm] gilt [mm]F(x) = P(T = 3) = \frac{2}{36}[/mm];
>
> ...
>
> Daraus, dass [mm]F[/mm] eine Treppenfunktion ist, folgt, dass das
> Bildmass auf [mm]\Omega' \subseteq \IR[/mm] diskret ist.
> Insbesondere folgt [mm]P(T = n) = F(n) - F(n-1)[/mm] fuer [mm]n \in \Omega'[/mm],
> womit die Verteilung von [mm]T[/mm] eindeutig durch die
> Verteilungsfunktion [mm]F[/mm] bestimmt wird.
Sei jetzt n=4:
(Das würde doch bedeuten: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Summe eine 4 gewürfelt wird)
[mm]P(T = 4) = F(4) - F(3)=\bruch{3}{36}-\bruch{2}{36}=\bruch{1}{36}[/mm] ?
Oder n=10:
[mm]P(T = 10) = F(10) - F(9)=\bruch{3}{36}-\bruch{4}{36}=-\bruch{1}{36}[/mm] ?
LG und vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne!
> Aber so ganz verstehe ich es noch nicht:
>
> > Nun, die Verteilungsfunktion ist ja hier [mm]F(x) = P(T \le x)[/mm].
> > Diese ist eine Treppenfunktion:
> > - fuer [mm]x \in (-\infty, 2)[/mm] gilt [mm]F(x) = 0[/mm] (da [mm]T \ge 2[/mm] ist);
> > - fuer [mm]x \in [2, 3)[/mm] gilt [mm]F(x) = P(T = 2) = \frac{1}{36}[/mm];
> >
> > - fuer [mm]x \in [3, 4)[/mm] gilt [mm]F(x) = P(T = 3) = \frac{2}{36}[/mm];
Da habe ich mich vertippt: ich meinte $F(x) = P(T = 2) + P(T = 3) = [mm] \frac{3}{36}$.
[/mm]
Und fuer $x [mm] \in [/mm] [4, 5)$ ist dann $F(x) = P(T = 2) + P(T = 3) + P(T = 4)$, etc.
> > Daraus, dass [mm]F[/mm] eine Treppenfunktion ist, folgt, dass das
> > Bildmass auf [mm]\Omega' \subseteq \IR[/mm] diskret ist.
> > Insbesondere folgt [mm]P(T = n) = F(n) - F(n-1)[/mm] fuer [mm]n \in \Omega'[/mm],
> > womit die Verteilung von [mm]T[/mm] eindeutig durch die
> > Verteilungsfunktion [mm]F[/mm] bestimmt wird.
>
> Sei jetzt n=4:
> (Das würde doch bedeuten: Wie gross ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass in Summe eine 4 gewürfelt wird)
> [mm]P(T = 4) = F(4) - F(3)=\bruch{3}{36}-\bruch{2}{36}=\bruch{1}{36}[/mm]
> ?
Nein, das ist es nicht. Siehe meine Korrektur oben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 13.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
vielen Dank, dann habe ich es jetzt verstanden.
Einen lieben Gruß, Susanne
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