Vorzeichen eines Terms < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 21.08.2008 | | Autor: | Siddh |
| Aufgabe 1 | | [mm]M^2[2l^2-(l+1)^2]-l^4p^2>0 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm]M^2[-l^2+2(l-1)^2]-p^2(l-1)^4 \leq 0[/mm] |
Hallo!
Ich soll schrittweise herleiten wann die Terme das entsprechende Vorzeichen haben. Das Ergebnis ist mir bekannt, s.u.
M, p>0, l muss ganzzahlig und positiv sein
ERG.:
1.) Für l größer 3 ist die Bedingung nie erfüllt (wobei l größer gleich 7 sein muss?!)
2.)
l muss mindestens 3 sein
Vielen Dank!
Mein Weg bisher jeweils erstmal die Nullstellen der quadratischen Gleichung in der eckigen Klammer bestimmen.
So weiß ich z.B. bei wann es auf jeden Fall < Null ist. Aber über die relative Größe zum zweiten Term sagt mir das doch immer noch nichts aus?!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:[http://www.onlinemathe.de/forum/Gleichung-poitiv-oder-negativ-II]
Das war schon vor 3 Tagen, leider ohne aussagekräftigen Antworten.
Ich versetehe es nach wie vor nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 22.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Leider ist noch nicht ganz klar was du willst! Die Lösungen hängen in jedem Fall von $M$ und $p$ ab! Du solltest also sagen was du willst:
A)Eine Beschreibung der Lösungen in Abhängigkeit von $M$ und $p$, das ist möglich gibt aber ziemlich komplizierte Ausdrücke.
Oder
B) Lösungen für spezielle Werte von $M$ und $p$. Deine Musterlösungen scheinen darauf hinzuweisen, aber du sagst nichts über die Werte aus.
Ich schreibe mal ein paar kleine Gedanken, die nicht die Lösung sind, aber vielleicht hilfreich:
1)Die beiden Ungleichungen sind korreliert: Die erste ist genau dann für $(M,p,l)$ erfüllt, wenn die zweite für $(M,p,l+1)$ erfüllt ist, es reicht also eine zu lösen. (Das erkennt man durch Einsetzen von $l+1$ für l in die 2. Gleichung.
2) Für sehr große $l$ "gewinnt" immer der Term [mm] $-l^4p^2$. [/mm] Das heißt, für hinreichend große $l$ ist die erste Gleichung nicht erfüllt, die zweite schon. Die folgende Rechnung gibt eine Abschätzung für dieses $l$:
[mm] $M^2[2l^2-(l+1)^2]-l^4p^2\leq M^2[2l^2-l^2]-l^4p^2= M^2[l^2]-l^4p^2=l^2p^2(\frac {M^2} {p^2} -l^2)$
[/mm]
Der letzte Term ist jetzt genau dann kleiner als $0$, wenn [mm] $l>\frac [/mm] M p$. Das heißt wir haben als Teilergebnis:
(1) ist falsch wenn [mm] $l>\frac [/mm] M p$
und
(2) ist erfüllt wenn [mm] $l\geq \frac [/mm] M p -1$.
Da $l$ eine natürliche zahl ist, sind nur noch endlich viele Fälle zu überprüfen. Vielleicht ist das manuelle Überprüfen hier das Schnellste.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Siddh |
Hallo Peter!
Vielen Dank für deine Mühe. Ich denke, das geht schon eher in die Richtung, wo es mal hin soll. Werde mir das später nochmal zu Gemüte führen und schauen, wie ich deinen "Input" unterbringen kann.
Bei evtl. Rückfragen, werd ich dann noch konkreter.
Danke.
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