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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Dilek |
Hi Leute,
ich bin momentan mit einer Aufgabe beschäftigt, wo ich leider nicht weiter komme.
Aufg.: Ein Analogon zu einem Dreieck in der Ebene ist im Raum ein Körper mit vier Ecken, ein sog. Tetraeder. Je drei Ecken bilden eine dreieckige Seitenfläche. Das Tetraeder wird von diesen vier Dreiecken begrenzt. Wie groß ist die Anzahl n der Kanten eines Tetraeders? Wenn die Begrenzungsfläche alle gleichseitig sind, spricht man von einem regelmäßigen Tetraeder. Beweisen Sie nun: die Symmetrieebene der n Kanten eines beliebigen (also nicht notwendig regelmäßigen) Tetraeders schneiden sich in einem Punkt, der der Mittelpunkt der Umkugel dieses Tetraeders ist.
Ich bin mir nicht sicher aber die Anzehl der Kanten eines Tetraeders müssten 9 sein, 3 für jedes Dreieck.
Ich weiß auch dass der Schnittpunkt dieser Ebenen der Mittelpunkt der Umkugel ist, da der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks der Mittelpunkt des Umkreises ist.
Mein Problem: Wie beweise ich das jetzt?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mo 16.05.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi Leute,
Hallo Dilek
> ich bin momentan mit einer Aufgabe beschäftigt, wo ich
> leider nicht weiter komme.
> Aufg.: Ein Analogon zu einem Dreieck in der Ebene ist im
> Raum ein Körper mit vier Ecken, ein sog. Tetraeder. Je drei
> Ecken bilden eine dreieckige Seitenfläche. Das Tetraeder
> wird von diesen vier Dreiecken begrenzt. Wie groß ist die
> Anzahl n der Kanten eines Tetraeders? Wenn die
> Begrenzungsfläche alle gleichseitig sind, spricht man von
> einem regelmäßigen Tetraeder. Beweisen Sie nun: die
> Symmetrieebene der n Kanten eines beliebigen (also nicht
> notwendig regelmäßigen) Tetraeders schneiden sich in einem
> Punkt, der der Mittelpunkt der Umkugel dieses Tetraeders
> ist.
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> Ich bin mir nicht sicher aber die Anzehl der Kanten eines
> Tetraeders müssten 9 sein, 3 für jedes Dreieck.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") So kann man nicht argumentieren. Tetraeder ist griechisch: Tetra heisst 4 und "eder" heisst soviel wie Fläche. Ein Tetraeder ist also aus 4 Flächen (Dreiecken) zusammengesetzt. Jedes Dreieck besitzt 3 Kanten, macht also 12 Kanten. Aber auch je eine Kante gehört zu zwei Dreiecken, also besitzt das Tetraeder 6 Kanten.
> Ich weiß auch dass der Schnittpunkt dieser Ebenen der
> Mittelpunkt der Umkugel ist, da der Schnittpunkt der
> Mittelsenkrechten eines Dreiecks der Mittelpunkt des
> Umkreises ist.
> Mein Problem: Wie beweise ich das jetzt?
Nehmen wir einmal ein Dreieck ABC des Tetraeders und schauen die Symmetrieebenen (= Mittelnormalebenen) jeder Kante an. Es ist klar, dass die Schnittgerade einer solchen Ebene mit der Dreiecksebene (= Ebene in der das Dreieck liegt) die Mittelsenkrechte der Dreiecksseite ist. Die drei Symmetrieebenen der Dreiechksseiten schneiden sich daher im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Ausserdem sind diese Ebenen alle Senkrecht zur Dreiecksebene, daher ist die Schnittgerade $s$ dieser drei Ebenen eine Gerade, die normal (senkrecht) zur Dreiecksebene steht und durch den Umkreismittelpunkt des Dreiecks geht.
Jeder Punkt auf $s$ ist von den Ecken A, B, C gleichweit entfernt. Der vierte Punkt des Tetraeders sei D. Jetzt schneiden wir dei Symmetrieebene der Kante AD mit s, das gibt einen Punkt U. Dann ist U von A, B, C gleichweit entfernt, weil U auf s liegt. Und U ist gleichweit von A und D entfernt, weil U auf der Mittelnormalebene von AD liegt. Deshalb liegt U von A, B, C, D gleichweit entfernt und ist deshalb der Mittelpunkt der Umkugel. Aus dem gleichen Grund gehen auch die Symmetrieebenen von BD und CD durch U. Daher schneiden sich alle Symmetrieebnenen der Kanten in einem Punkt.
mfG Moudi
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