Vorgehen bei Gebietsintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wie muss ich denn bei der Bestimmung eines Gebietsintegrals in folgender Form vorgehen?
Bestimmen Sie für die Menge W := [mm] {(x,y)\in\IR^{2} ; x^{2}+y^{2} \le 81 , x^{2} + (y-5)^{2} \ge 25} [/mm] das Gebietsintegral der Funktion w: [mm] \IR^{2} \to \IR: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x + y .
Also wie die Menge aussieht ist mir klar, aber das weiter bissl unlogisch!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 So 26.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo surfer,
die weitere Vorgehensweise ist nicht unlogisch, sie kann aber sehr arbeitsintensiv sein, um es mal so höflich auszudrücken. Deine Funktion f(x,y) ist gegeben, das Integrationsgebiet G auch.
Jetzt könnte ich es mir einfach machen und sagen, löse doch das Integral
$$ [mm] {\int \int}_{G} [/mm] f(x,y) [mm] dx\,, [/mm] dy [mm] \, [/mm] . $$
Dieses Integral kann man aber unterschiedlich klammern und demzufolge gibt es zwei Lösungswege.
Weg 1:
Man berechnet das Integral
$$ [mm] \int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y = \alpha (x)}^{y= \beta (x)} f(x,y) \, dy \right) \, [/mm] dx $$
Hier muss man also für das innere Integral die Berandung in Abhängigkeit von x angeben, damit darüber im äußeren Integral dann integriert werden kann.
Weg 2:
Man berechnet das Integral
$$ [mm] \int_{y=c}^{y=d} \left( \int_{x = \gamma (y)}^{x= \delta (y)} f(x,y) \, dx \right) \, [/mm] dy $$
Hier muss man also für das innere Integral die Berandung in Abhängigkeit von y angeben, damit darüber im äußeren Integral dann integriert werden kann.
Welcher Weg von diesen beiden zu einer einfacheren Rechnung führt, hängt natürlich stark vom Gebiet ab.
Viel Erfolg,
Infinit
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> Bestimmen Sie für die Menge W := [mm]{(x,y)\in\IR^{2} ; x^{2}+y^{2} \le 81 , x^{2} + (y-5)^{2} \ge 25}[/mm]
> das Gebietsintegral der Funktion w: [mm]\IR^{2} \to \IR:[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x + y .
Hallo Surfer;
Ja, das Gebiet W (dessen Bild golden über mancher
Moschee prangen mag) ist ein bisschen schwierig
in den Griff zu bekommen. Du kannst es mit den
gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten tun, dann
musst du aber die Integration z.B. in 3 Teile zerlegen.
Es könnte vielleicht mit Polarkoordinaten etwas ein-
facher, in einem einzigen Integral gehen. Nennen
wir den Koordinatenursprung O, die beiden Schnitt-
punkte der Kreise mit A und B (A links oben, B rechts
oben). Nun betrachten wir einen Strahl p von O aus
mit einem Polarwinkel [mm] \varphi. [/mm] Der Strahl p schneide
den kleinen Kreis in P und den grossen in Q.
Die Punkte P und Q sind in Polarkoordinaten leicht zu
beschreiben; z.B. ist
[mm] \left|\overline{OP}\right|=10*sin(\varphi),
[/mm]
falls ich mich nicht verrechnet habe.
Dann müsste das Doppelintegral etwa so aussehen:
[mm] \integral_{\varphi=\varphi_A}^{\varphi_B}d\varphi \integral_{r=r_P(\varphi)}^{9}\ [/mm] dr ........
Bemerkung:
Da steckt allerdings doch noch eine Tücke drin:
Die Formel [mm] r_{min}=r_P(\varphi)=10*sin(\varphi) [/mm] ist nur dann
anzuwenden, falls [mm] sin(\varphi)\ge [/mm] 0 ist. Im Fall
[mm] sin(\varphi)<0 [/mm] muss als Untergrenze für den Radius
r=0 genommen werden. Zusammengefasst gilt also
für die Untergrenze von r:
[mm] $r_{min}=max\left(0\ ,\ 10*sin(\varphi)\right)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Man kann die Integration in rechtwinkligen Koordinaten
so vornehmen:
[mm] \integral_{-9}^{y_A}\left(\integral_{-w}^{w}(x+y)\ dx\right)dy-\integral_{0}^{y_A}\left(\integral_{-v}^{v}(x+y)\ dx\right)dy
[/mm]
Dabei ist:
[mm] $y_A=$ [/mm] y-Koordinate der beiden Kreisschnittpunkte A und B
[mm] w=\wurzel(81-y^2)
[/mm]
[mm] v=\wurzel(25-(y-5)^2)=\wurzel(10y-y^2)
[/mm]
Um [mm] y_A [/mm] zu berechnen, braucht man etwas elementare Trigonometrie.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 26.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, schon mal danke für eure Hilfe und ich glaube mit dem letzten Ansatz könnte ich auch zurechtkommen, hab nur noch kurz zwei kleine Fragen und zwar, müssen die Schranken doch x = [mm] \wurzel{81-x^{2}} [/mm] und [mm] x=\wurzel{10y-y^{2}} [/mm] sein oder?
und kann es sein, dass der ya wert 8,1 beträgt?
lg Surfer
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Guten Abend !
> Hi, schon mal danke für eure Hilfe und ich glaube mit dem
> letzten Ansatz könnte ich auch zurechtkommen, hab nur noch
> kurz zwei kleine Fragen und zwar, müssen die Schranken doch
> x = [mm]\wurzel{81-x^{2}}[/mm]
Da waren [mm] x=±\wurzel{81-y^{2}} [/mm] schon richtig !
> und [mm]x=\wurzel{10y-y^{2}}[/mm] sein oder?
Du hast recht. Das war ein Schreibfehler. Also [mm]x=±\wurzel{10y-y^{2}}[/mm]
> und kann es sein, dass der ya wert 8,1 beträgt?
Ja, genau.
Und das Schlussergebnis (nach der rechtwinkligen
und der Polarmethode errechnet), ist -340.75.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 26.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi nochmal,
du meinst als Endergebnis der Fläche kommt -340,75 heraus?
Dann versuche ich mal das zu erarbeiten!
ich danke dir, falls ich probleme bekomme, meld ich mich nochmal!
lg Surfer
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> Hi nochmal,
> du meinst als Endergebnis der Fläche kommt -340,75
> heraus?
Das ist hier natürlich nicht ein Flächeninhalt, sondern
einfach das Schlussergebnis für den Wert des Integrals.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 26.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Könnte ich mal kurz wissen, auf welches Ergebnis du für den vorderen Teil sprich für den großen Kreisanteil deiner Parametrisierung kommst?
lg Surfer
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> Könnte ich mal kurz wissen, auf welches Ergebnis du für den
> vorderen Teil sprich für den großen Kreisanteil deiner
> Parametrisierung kommst?
>
> lg Surfer
-40.25...
(musste es nochmals nachrechnen, weil ich das nur auf dem
Rechner und auf Zettelchen hatte  )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 26.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Irgendwo steckt bei mir der Wurm drin, ich rechne mal vor:
[mm] \integral_{-9}^{8,1} [/mm] ( [mm] \integral_{-\wurzel{81-y^{2}}}^{\wurzel{81-y^{2}}} [/mm] (x+y) dx)dy
[mm] \Rightarrow \integral_{-9}^{8,1} [/mm] ( [mm] (\bruch{1}{2}*(81-y^{2}) [/mm] + [mm] (\wurzel{81-y^{2}})y) [/mm] )dy
[mm] \Rightarrow \integral_{-9}^{8,1} [/mm] ( (40,5 [mm] -\bruch{y^{2}}{2} [/mm] ) + [mm] (\wurzel{81y^{2}-y^{4}}) [/mm] )dy
[mm] \Rightarrow [/mm] ( 40,5 [mm] -\bruch{y^{3}}{6} [/mm] + [mm] (81y^{2}-y^{4})^{\bruch{3}{2}}*(\bruch{81}{3}y^{3} -\bruch{y^{5}}{5}) [/mm] ) von -9 bis 8,1
und wenn ich jetzt die Schranken einsetzen würde kommt ne mega große Zahl raus!
Wo liegt mein Fehler, bitte um Korrektur!
lg Surfer
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> Irgendwo steckt bei mir der Wurm drin, ich rechne mal vor:
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> [mm]\integral_{-9}^{8,1}[/mm] (
> [mm]\integral_{-\wurzel{81-y^{2}}}^{\wurzel{81-y^{2}}}[/mm] (x+y)
> dx)dy
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-9}^{8,1}[/mm] ( [mm](\bruch{1}{2}*(81-y^{2})[/mm]
> + [mm](\wurzel{81-y^{2}})y)[/mm] )dy
Hallo,
Du hast hier doch gar nicht die untere Intervallgrenze eingesetzt.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-9}^{8,1}[/mm] ( (40,5 [mm]-\bruch{y^{2}}{2}[/mm]
> ) + [mm](\wurzel{81y^{2}-y^{4}})[/mm] )dy
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ( 40,5 [mm]-\bruch{y^{3}}{6}[/mm] +
> [mm](81y^{2}-y^{4})^{\bruch{3}{2}}*(\bruch{81}{3}y^{3} -\bruch{y^{5}}{5})[/mm]
> ) von -9 bis 8,1
>
> und wenn ich jetzt die Schranken einsetzen würde kommt ne
> mega große Zahl raus!
>
> Wo liegt mein Fehler, bitte um Korrektur!
>
> lg Surfer
>
>
>
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> Irgendwo steckt bei mir der Wurm drin, ich rechne mal vor:
>
> [mm]\integral_{-9}^{8,1}[/mm] ( [mm]\integral_{-\wurzel{81-y^{2}}}^{\wurzel{81-y^{2}}}[/mm] (x+y) dx)dy
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-9}^{8,1}[/mm] ( [mm](\bruch{1}{2}*(81-y^{2})[/mm] + [mm](\wurzel{81-y^{2}})y)[/mm] )dy
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-9}^{8,1}[/mm] ( (40,5 [mm]-\bruch{y^{2}}{2}[/mm] ) + [mm](\wurzel{81y^{2}-y^{4}})[/mm] )dy
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ( 40,5 [mm]-\bruch{y^{3}}{6}[/mm] + [mm](81y^{2}y^{4})^{\bruch{3}{2}}*(\bruch{81}{3}y^{3} -\bruch{y^{5}}{5})[/mm] ) von -9 bis 8,1
>
> und wenn ich jetzt die Schranken einsetzen würde kommt ne
> mega große Zahl raus!
>
> Wo liegt mein Fehler, bitte um Korrektur!
>
> lg Surfer
Zuerst musst du mal eine Stammfunktion für das innere
Integral bestimmen:
[mm] \integral [/mm] (x+y) dx = [mm] \bruch{x^2}{2}+xy
[/mm]
Jetzt die Grenzen für x einsetzen:
[mm] \left(\bruch{x^2}{2}+xy\right) \big{|}_{-w}^{w}=2y*\wurzel{81-y^2}
[/mm]
(andere Teilterme fallen heraus)
Dann das äussere Integral, zunächst ohne Grenzen:
[mm] \integral 2y*\wurzel{81-y^2} [/mm] dy
Das funktioniert mit der Substitution [mm] 81-y^2=t [/mm] und gibt
etwas zu rechnen. Ergebnis:
- [mm] \bruch{2}{3}* (81-y^2)^{1.5}
[/mm]
Und dann noch die Grenzen für y einsetzen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, also das erste Integral hat jetzt wunderbar geklappt und ich komme auch auf die -40,25! Probleme macht mir jetzt allerding den folgenden Teil zu integrieren:
[mm] \integral_{0}^{8,1}{2y\wurzel{10y-y^{2}} dy}
[/mm]
Wie gehe ich hier am besten vor?
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Dieses Integral "dürstet" m.E. nach einer Substitution: $u \ := \ [mm] 10y-y^2$ [/mm] .
Aber dieser Durst führt wohl doch nicht zur Quelle ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Surfer |
das habe ich schon versucht, aber führt mich nicht weiter:
habe jetzt dastehen: [mm] \integral_{0}^{8,1}{\bruch{2y\wurzel{u}}{10-2y} du}
[/mm]
und wenn ich dann statt y -> y= 10 einsetze habe ich eine kompliziertere Gleichung zu integrieren!
Oder wie müsste ich vorgehen!
lg Surfer
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hallo Surfer,
du hast Recht; das Integral ist doch nicht so trivial. Ich
habe das vorher gar nicht bemerkt, da ich das Integral
einfach dem CAS-Rechner überliess.
Wenn du es trotzdem "zu Fuss" unternehmen willst,
empfehle ich dir als erste Substitution:
y=z+5
Nachher kann man das Integral in zwei Summanden
aufteilen. Beim einen sollte, so weit ich sehe, dann die
Substitution [mm] 25-z^2=t [/mm] weiter helfen, beim anderen
Teil möglicherweise [mm] z=5*sin(\alpha).
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Surfer |
uff, gibts da keinen einfacheren weg? komm damit nicht wirklich klar!
lg Surfer
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Surfer,
hier (ohne Gewähr der Details) die Berechnung des zweiten Integrals:
$\integral_{y=0}^{8.1}{2y\wurzel{10y-y^{2}}\ dy}$
Substitution: $y=z+5$ $dy=dz$
$\integral_{z=-5}^{3.1}{(2z+10)*\wurzel{25-z^2}\ dz}$
$\integral_{z=-5}^{3.1}{2z*\wurzel{25-z^2}\ dz} + \integral_{z=-5}^{3.1}{10*\wurzel{25-z^2} dz}$
erstes Integral: $25-z^2=t$ $-2z*dz=dt$
zweites Integral: $z=5*sin(\alpha)$ $dz=5*cos(\alpha)*d\alpha$
$-\integral_{t=0}^{15.39}{\wurzel{t}\ dt} + \integral_{\alpha=-\pi/2}^{\alpha_B}{10*\wurzel{25-(5*sin(\alpha) )^2} *5*cos(\alpha)*d\alpha}$
$-\ \bruch{2}{3}*t^{\bruch{3}{2}}\big{|}_0^{15.39}+ \integral_{\alpha=-\pi/2}^{\alpha_B}{10*5*cos(\alpha) }* 5*cos(\alpha)*d\alpha}$
$-40.250+ 250*\integral_{\alpha=-\pi/2}^{arcsin(0.62)}{cos^2(\alpha) }*d\alpha}$
$-40.250+340.749=300.499$
Bemerkungen:
1.) das Integral von cos^2(\alpha) kennst du bestimmt schon
2.) \alpha_B ist der Polarwinkel des Kreisschnittpunktes rechts oben
LG Al-Chw.
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