Vorarbeit zu Satz v. Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
Nachdem ich nun das Kapitel "Integrationstheorie" bearbeitet habe, bin ich nun beim Satz von Fubini angelangt.
Als Vorbeit zum Satz von Fubini wurde eine Bezeichnung eingeführt und ein Satz, wo bei mir mal wieder leider Verständnisprobleme auftauchen... :-(
Bezeichnung:
Seien [mm] n,m \in \mathbb N , \ N = n + m [/mm]
wir schreiben die Elemente von [mm] \mathbb R^N [/mm]
in der Form [mm] (x,y) [/mm] mit [mm] x \in \mathbb R^n, \ y \in \mathbb R^m [/mm]
Ist [mm] E \subseteq \mathbb R^N [/mm] und [mm] x \in \mathbb R^n, \ y \in \mathbb R^m [/mm] so sei
[mm] E_x := \{ y \in \mathbb R^m \ | \ (x,y) \in E \} \subseteq \mathbb R^m [/mm]
[mm] E^y := \{ x \in \mathbb R^n \ | \ (x,y) \in E \} \subseteq \mathbb R^n [/mm]
Frage:
Handelt es sich einfach um die Einführung von Produkträumen?
Satz :
Für [mm] E \in \mathcal B^N [/mm]. Dann gilt:
1) Für jedes [mm] x \in \mathbb R^n [/mm] ist [mm] E_x \in \mathcal B^m [/mm]
2) Die numerische Funktion [mm] x \to \lambda^m ( E_x) [/mm] auf [mm] \mathbb R^n [/mm] ist messbar
3) [mm] \lambda^N (E) = \integral_{ \mathbb R^n } \lambda^m ( E_x) d \lambda^n (x) = \integral_{ \mathbb R^m } \lambda^n ( E^y) d \lambda^m (y) [/mm]
Fragen:
Wird denn bei 2) also erstmal jedem x ein [mm] [mm] E_x [/mm] zugeordnet und dann das [mm] \lambda^m [/mm] angewendet?
Bei 3) bin ich irritiert durch das gleichzeitige auftreten von z.B.
[mm] [mm] \lambda^m[/mm] [mm] und [mm] d \lambda^n [/mm] ... Irgendwie ist mir nich ganz klar, was dort gemacht wird....
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo !
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> Nachdem ich nun das Kapitel "Integrationstheorie"
> bearbeitet habe, bin ich nun beim Satz von Fubini
> angelangt.
> Als Vorbeit zum Satz von Fubini wurde eine Bezeichnung
> eingeführt und ein Satz, wo bei mir mal wieder leider
> Verständnisprobleme auftauchen... :-(
>
> Bezeichnung:
>
> Seien [mm]n,m \in \mathbb N , \ N = n + m[/mm]
> wir schreiben
> die Elemente von [mm]\mathbb R^N[/mm]
> in der Form [mm](x,y)[/mm] mit [mm]x \in \mathbb R^n, \ y \in \mathbb R^m[/mm]
>
> Ist [mm]E \subseteq \mathbb R^N[/mm] und [mm]x \in \mathbb R^n, \ y \in \mathbb R^m[/mm]
> so sei
>
> [mm]E_x := \{ y \in \mathbb R^m \ | \ (x,y) \in E \} \subseteq \mathbb R^m[/mm]
>
> [mm]E^y := \{ x \in \mathbb R^n \ | \ (x,y) \in E \} \subseteq \mathbb R^n[/mm]
>
>
> Frage:
> Handelt es sich einfach um die Einführung von
> Produkträumen?
Nein. [mm] E_x [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] R^m, E^y [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] R^n.
[/mm]
Diese Mengen nennt man auch "Schnitte". Mach Dir doch mal eine Skizze für den Fall n = m = 1.
>
>
> Satz :
>
> Für [mm]E \in \mathcal B^N [/mm]. Dann gilt:
> 1) Für jedes [mm]x \in \mathbb R^n[/mm] ist [mm]E_x \in \mathcal B^m[/mm]
>
> 2) Die numerische Funktion [mm]x \to \lambda^m ( E_x)[/mm] auf
> [mm]\mathbb R^n[/mm] ist messbar
>
> 3) [mm]\lambda^N (E) = \integral_{ \mathbb R^n } \lambda^m ( E_x) d \lambda^n (x) = \integral_{ \mathbb R^m } \lambda^n ( E^y) d \lambda^m (y)[/mm]
>
>
> Fragen:
>
> Wird denn bei 2) also erstmal jedem x ein [mm][mm]E_x[/mm] zugeordnet und dann das [mm]\lambda^m[/mm] angewendet?
Ja.
>Bei 3) bin ich irritiert durch das gleichzeitige auftreten von z.B.
>[mm][mm]\lambda^m[/mm] [mm]und [mm]d \lambda^n[/mm] ... Irgendwie >ist mir nich ganz klar, was dort gemacht wird....
> [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Vielen Dank![/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm]Viele Grüße[/mm][/mm][/mm]
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FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Danke für den TIp mit dem Zeichnen... Ich habe mir das jetzt skiziziert und denke, dass jetzt verstanden zu haben.
Also, wenn ich die 3. Aussagen richtig verstehe, heißt es,
dass wenn ich das Maß von E berechnen möchte, es reicht z.B. über die senkrechten Schnitte , sprich über die [mm] E_x [/mm] zu integrieren. Also die Menge E in senkrechte Schnitte zu teilen ünd über diese zu integrieren, Genauso wäre es möglich die Menge waagerecht zu schneiden und über die [mm] E^y [/mm] zu integrieren.
Wäre das so richtig?
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 06.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Jawoll
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Dankeschön!
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