Von kart. nach Polar-Form < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 07.07.2008 | | Autor: | sebid |
| Aufgabe | Geben sie alle (fünf) komplexen Lösungen folgender Gleichung in Polarkoordinatenform [mm] z=re^{i\phi} [/mm] an:
[mm] (2+2i)z^5=-1-\wurzel{3}+i(1-\wurzel{3}) [/mm] |
Ich habe hier die Lösung zu dieser Aufgabe, diese ist bis auf einen Schritt auch klar und ich kann's auch selber rechnen.
Man kann die Rechung umschreiben:
[mm] z^5=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
Soweit ist das klar.
Nur jetzt im nächsten Schritt hakt es:
[mm] z^5=e^{\bruch{5\pi}{6}i}
[/mm]
Ich hab hier Umrechenformeln, wie man r und [mm] \phi [/mm] bestimmt, allerdings gehen die ja nur, wenn man eine Gleichung der Form z=... irgendwas hat. Hier ist es ja [mm] z^5.
[/mm]
Was wurde hier also gemacht?
Vielen Dank.
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die Gleichung [mm] z^5=w [/mm] mit [mm] w=-0,5*\wurzel{3}+0,5*i
[/mm]
jetzt sollst du w in Polarform schreiben, dann die 5 verschiedenen fünften Wurzeln ziehen! denk dran, dass [mm] e^{i\phi}=e^{i\phi+n*2\pi} [/mm] n ganz ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 09.07.2008 | | Autor: | sebid |
Danke erstmal.
Mir ist schon klar, was ich machen muss, nicht jedoch das wie.
Ich scheitere daran, dass ich das nicht in Polar-Form umgeschrieben bekomme.
Ich benutze diese Formel:
Ist z = a + ib, so ist r = [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Berechnung von [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \phi [/mm] = arctan [mm] \bruch{b}{a}+\pi, [/mm] falls a < 0, b [mm] \ge [/mm] 0
Das gilt ja aber eben nur, wenn die Gleichung z=... ist, nicht [mm] z^5=... [/mm] wie hier.
Also wie krieg ich die ^5 mit darein?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sebid!
Verwende die  Moivre-Formel für die Wurzelberechnung von $w \ = \ [mm] e^{\bruch{5}{6}\pi*i}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Fr 11.07.2008 | | Autor: | sebid |
Danke. Ich hab's nun hinbekommen.
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