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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um eine Aufgabe, in der sowohl in Zylinderkoordinaten als auch kartesisch gerechnet wird. Ergebnis ist eine Lorentzkraft-Dichte, die in kartesischen Koordinaten angegeben ist:
[mm] f=f_0*(\cos(\phi)*\cos(\alpha)*ex+\sin(\phi)*\cos(\alpha)*ey-\cos(\phi)*sin(\alpha)*ez)
[/mm]
Nun kommt der Schritt, der mir unklar ist. Es wird die Gesamtkraft durch Volumenintegration über f berechnet. Soweit so gut, aber die Volumenintegration wird komischerweise in Zylinderkoordinaten ausgeführt über den Term für f der oben steht:
[mm] F=\integral_{0}^{d}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{a}^{b}{f * r^2 dr*d\phi*dz}}}
[/mm]
Wieso kann man hier einfach über einen Term, der in kartesischen Koordinaten gegeben ist eine Volumenintegration mit differenziellem Volumenelement in Zylinderkoordinaten ausführen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Es geht um eine Aufgabe, in der sowohl in
> Zylinderkoordinaten als auch kartesisch gerechnet wird.
> Ergebnis ist eine Lorentzkraft-Dichte, die in kartesischen
> Koordinaten angegeben ist:
> [mm]f=f_0*(\cos(\phi)*\cos(\alpha)*ex+\sin(\phi)*\cos(\alpha)*ey-\cos(\phi)*sin(\alpha)*ez)[/mm]
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> Nun kommt der Schritt, der mir unklar ist. Es wird die
> Gesamtkraft durch Volumenintegration über f berechnet.
> Soweit so gut, aber die Volumenintegration wird
> komischerweise in Zylinderkoordinaten ausgeführt über den
> Term für f der oben steht:
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> [mm]F=\integral_{0}^{d}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{a}^{b}{f * r^2 dr*d\phi*dz}}}[/mm]
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> Wieso kann man hier einfach über einen Term, der in
> kartesischen Koordinaten gegeben ist eine
> Volumenintegration mit differenziellem Volumenelement in
> Zylinderkoordinaten ausführen?
Du wirfst hier zwei verschiedene Dinge durcheinander. Zum Einen ist dein Integrand ein Vektor. Das bedeutet zunächst mal nur, dass du jede Komponente für sich integrieren musst. Du hast also insgesamt drei Volumenintegrale auszurechnen.
Zum Anderen kannst du das für jedes dieser drei Integrale die Koordinaten wählen, wie du willst, also auch Kugel- oder Zylinderkoordinaten.
Etwas Anderes wäre es, wenn die Komponenten der des Vektors nicht wie hier in kartesischen, sondern in krummlinigen Koordinaten angegeben wären. Dann wären die Einheitsvektoren nicht konstant, sondern würden von den Koordinaten abhängen. Dann muss du in der Tat aufpassen, und diese Abhängigkeit richtig einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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