Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Wie beschreibe ich denn das Integral richtig? Mein Ansatz war folgender:
= [mm] \integral_{-\wurzel{z}}^{\wurzel{z}}{ \integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{ \integral_{1}^{x^{2} + y^{2}}{\wurzel{x^{2} + y^{2}} dz} dy} dx}
[/mm]
Wobei das z im ersten Integral eine Konstante ist von
z = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
1 = [mm] \bruch{x^{2}}{z} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{z}
[/mm]
Stimmt das so schonmal? Oder heißt der Bereich, dass die Punkt in der Ebene Z UND im Paraboloid liegen müssen? Dann wäre es ja quasi eine zweidimensionale Fläche
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Do 04.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Kannst du dir vorstellen wie diese Menge aussieht, über die du integrieren sollst?
Ein Paraboloid ist sowas wie eine quadratische Funktion die du um die y-Achse drehst, also wie ein Wok ^^
Dabei liegt das globale Minimum im Nullpunkt und der Graph "öffnet" sich nach "oben", also in positive z-Richtung.
Und nach oben wird diese Menge ja von der Ebene z=1 begrenzt. Das heisst also schon mal, dass das z von 0 bis 1 läuft bei der Integration.
Und wenn du dir jetzt so ein bestimmtes z zwischen 0 und 1 nimmst und diese entsprechende Ebene mit dem Graphen von [mm] x^2+y^2 [/mm] schneidest, dann hast du einen Kreis.
Ich würd an deiner Stelle also erstmal bei festem z über diesen Kreis integrieren und dann das z von 0 bis 1 laufen lassen.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber wenn ich mir hier mittendrin eine Ebene vorstelle, dann geht doch Z nicht immer von 0 bis 1 sondern hängt im Allgemeinen von x und y ab. Wenn ich mir einen Punkt etwas weiter außen anschaue geht der doch von z=x²+y² bis z=1 oder nicht?
Außerdem würde es mir schwer fallen eine Stammfunktion zu finden. Würde sich hier die Transformation in Kugelkoordinaten lohnen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Aber wenn ich mir hier mittendrin eine Ebene vorstelle,
> dann geht doch Z nicht immer von 0 bis 1 sondern hängt im
> Allgemeinen von x und y ab. Wenn ich mir einen Punkt etwas
> weiter außen anschaue geht der doch von z=x²+y² bis z=1
> oder nicht.
Hallo,
hier fällt mir grad nicht ein, wie ich verständlich antworten kann.
>
> Außerdem würde es mir schwer fallen eine Stammfunktion zu
> finden. Würde sich hier die Transformation in
> Kugelkoordinaten lohnen?
In Kugelkoordinaten eher nicht, denn das Problem ist achsensymmetrisch, womit sich Zylinderkoordinaten anbieten.
Wie gesagt, läuft z wischen Null und 1. Die Schnitte mit den zu z senkrechten Ebenen sind Kreise. Wie weit sind die Punkte der Kreisscheiben maximal von der z-Achse entfernt?
Gruß v. Angela
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edit:
Ich glaube ich habs.
Radius läuft zwischen 0 und [mm] \wurzel{z}
[/mm]
Winkel zwischen 0 und [mm] 2\pi
[/mm]
Höhe zwischen 0 und 1
Richtig so?
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> edit:
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> Ich glaube ich habs.
>
> Radius läuft zwischen 0 und [mm]\wurzel{z}[/mm]
> Winkel zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm]
> Höhe zwischen 0 und 1
>
> Richtig so?
Hallo,
ja, das ist richtig.
Gruß v. Angela
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Danke...
ich habe die ganze Zeit den Fehler gemacht und mir die Menge falsch vorgestellt. Der Paraboloid ist ja hohl und die z=1 Ebene schließt die gesuchte Menge sozusagen ein..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 05.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
So wie dus beschreibst ist es falsch, deine Menge ist das ausgefuellte Paraboloid, nicht das hohle, sonst haettest du ja ne Flaeche , kein Volumen.
Wenn dus anders gemeint hast, vergiss es.
Gruss leduart
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Ja schon klar, ich meine das Paraboloid an sich ist ein "Hohlkörper". Zusammen mit der Ebene schließt er dann ein Volumen ein.
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> Ja schon klar, ich meine das Paraboloid an sich ist ein
> "Hohlkörper". Zusammen mit der Ebene schließt er dann ein
> Volumen ein.
Genau: den Pudding in der Schüssel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 06.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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