Volumenformel einer Kugel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 05.03.2006 | | Autor: | arual |
| Aufgabe | | Leiten Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r mit Hilfe der Integralrechnung her! (Wählen Sie eine geeignete Lage des entsprechenden Funktionsgraphen im Koordinatensystem!) |
Hallo!
Also ich hatte noch weitere solcher Herleitungsaufgaben, beim Kegel und Kegelstumpf hat es auch geklappt, aber bei der Kugel hört es irgendwie auf.
Eine Kugel entsteht doch aus der Rotation eines Kreises um die x-Achse, oder?
Ich hatte mir den Kreis so hingelegt, dass er auf den Punkten P1(0;0),
P2(r;r) und P3(2r;0) liegt. Ist das richtig oder auch schon falsch?
Danach habe ich dann mithilfe dieser Punkte und einem Gleichungssystem die Funktionsgleichung f(x)= -1/r x²+2x rausbekommen.
Und die habe ich dann im Intervall 0 bis 2r integriert. Mein Ergebnis ist dann 16/15 [mm] \pi [/mm] r³ und das kann ja nicht sein, da das Volumen einer Kugel mit 4/3 [mm] \pi [/mm] r³ berechnet wird.
Also meine Frage: Was habe ich falsch gemacht? Wie komme ich auf das richtige Ergebnis?
Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
LG arual
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 05.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo arual,
> Leiten Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem
> Radius r mit Hilfe der Integralrechnung her! (Wählen Sie
> eine geeignete Lage des entsprechenden Funktionsgraphen im
> Koordinatensystem!)
> Hallo!
>
> Also ich hatte noch weitere solcher Herleitungsaufgaben,
> beim Kegel und Kegelstumpf hat es auch geklappt, aber bei
> der Kugel hört es irgendwie auf.
>
> Eine Kugel entsteht doch aus der Rotation eines Kreises um
> die x-Achse, oder?
klar
> Ich hatte mir den Kreis so hingelegt, dass er auf den
> Punkten P1(0;0),
> P2(r;r) und P3(2r;0) liegt. Ist das richtig oder auch schon
> falsch?
Das kannst du so machen. Du kannst aber auch den Mittelpunkt in den Ursprung legen und die Symmetrieeigenschaften benutzen.
>
> Danach habe ich dann mithilfe dieser Punkte und einem
> Gleichungssystem die Funktionsgleichung f(x)= -1/r x²+2x
> rausbekommen.
>
Wie bist du an diese Gleichung gekommen?
Der Mittelpunkt des Kreises ist [mm] M(r|0) [/mm]
Also ist die Kreisgleichung:
[mm] (x-r)^2\ +\ y^2 = r^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \ y^2\ = \ 2\ x\ r - x^2 [/mm]
> Und die habe ich dann im Intervall 0 bis 2r integriert.
auch richtig.
Wenn du jetzt mit der richtigen Funktion rechnest, erhälst du das Ergebnis der Foprmelsammlung.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 05.03.2006 | | Autor: | arual |
Vielen Dank für die Hilfe, ich bin dann jetzt auch auf die richtige Lösung gekommen.
Die andere Gleichung hatte ich rausbekommen, in dem ich die drei Punkte, die ich vorhin angegeben hatte in die allgemeine Gleichung y=ax²+bx+c eingesetzt hatte und das dann nach a,b und c aufgelöst hatte.
Naja, also es geht ja mit der Kreisgleichung besser, aber ich bezweifle, dass ich darauf gekommen wäre.
Ich habe nochmal eine Frage zu einer anderen Aufgabe, sie lautet: Durch die Gleichung x²/a² + y²/b²=1 ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben. Die Ellipse mit a=5 und b=5 rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Ellipsoids!
Ich bin hierbei einfach davon ausgegangen, dass wenn a=b die Ellipse ein Kreis ist und deshalb eine Kugel entsteht. Und habe dann r=5 gesetzt und das in die Volumenformel für eine Kugel eingesetzt. Mein Ergebnis ist rund 523,6 VE. Muss ich da noch irgendwas anderes machen, oder reicht das so? (Es erscheint mir irgendwie zu leicht)
Schon mal danke im Voraus.
Und noch einen angenehmen Restsonntag.
LG arual
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo arual!
> Ich bin hierbei einfach davon ausgegangen, dass wenn a=b
> die Ellipse ein Kreis ist und deshalb eine Kugel entsteht.
> Und habe dann r=5 gesetzt und das in die Volumenformel für
> eine Kugel eingesetzt. Mein Ergebnis ist rund 523,6 VE.
> Muss ich da noch irgendwas anderes machen, oder reicht das
> so? (Es erscheint mir irgendwie zu leicht)
Wenn wirklich gilt $a \ = \ b \ = \ 5$ , gilt, ist Dein Weg völlig legitim und okay!
Gruß
Loddar
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