Volumenberechnung mit Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 27.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=(0,25x-1)²+3.
Berechnen Sie mit Hilfe der Integralrechnung das Volumen des Rotationskörpers im Bereich von a=0 und b=8. |
Hallo,
ich bin neu hier und möchte mich zunächst erstienmal vorstellen. Ich bin 19Jahre alt, besuche die 12. Klasse eines Fachgymnasiums und habe vor kurzem dieses Forum hier entdeckt.
Viel mehr gibts zu mir kaum zu sagen.
Jetzt jedoch zu meinem Problem. Ich muss im Rahmen meiner Facharbeit über Rotationskörpern diese Aufgabe lösen, jedoch hatten wir dieses Thema noch nicht.
Bei meiner Suche bin ich unter anderem auf diese Formel gestoßen:
[mm] V=\pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}({f(x) )² dx}
[/mm]
Ist dies die richtige formel dafür?
Ich habe das vorerst mit dem TI-84Plus durchgerechnet und komme auf ein unglaubwürdiges Ergebnis.
Eventuell habe ich die formel auch einfach falsch angewendet. Ich glaube das ist mein Problem bei der Sache. Ich weiß nämlich nicht wie ich das Quadrat um f(x) behandeln soll. Muss ich es vor oder nach der Inventierten Ableitung einbringen??
MfG Sneiper
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Welches Rotationsvolumen möchtest Du denn berechnen? Das um die x-Achse? Dann ist Deine Formel richtig.
Berechne also zunächst [mm] $[f(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] [(0.25x-1)^2+3]^2 [/mm] \ = \ [mm] (0.25x-1)^4+6*(0.25x-1)^2+9 [/mm] \ = \ ...$ .
Hiervon nun das Integral ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 27.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Dass mir das nicht in den Sinn kam mit den Binomischen Formeln...
... also ich habs jetz soweit ich kann aufgelöst und komme jetz zu:
[mm] ...=(0,25x-1)^4+1,5x²-3x+15
[/mm]
Was mache ich jetzt mit der vierer-Potenz?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Dass mir das nicht in den Sinn kam mit den Binomischen
> Formeln...
> ... also ich habs jetz soweit ich kann aufgelöst und komme
> jetz zu:
>
> [mm]...=(0,25x-1)^4+1,5x²-3x+15[/mm]
>
> Was mache ich jetzt mit der vierer-Potenz?
Lass das alles am besten so stehen, wie es Loddar geschrieben hat.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sneiper!
Da scheint sich auch ein Fehler beim Ausmultiplizieren eingeschlichen zu haben ... aber wie Mathepower schon andeutete: gar nicht erst ausmultiplizieren, sondern den Klammerinhalt substituieren.
Alternativ kannst du natürlich auch die [mm] $(...)^4$ [/mm] ausmultiplizieren gemäß [mm] $(a+b)^4 [/mm] \ = \ [mm] a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ [/mm] . Das bedeutet dann aber schon einigen Rechenaufwand.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 27.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich hab jetzt mal versucht:
\ [mm] (0.25x-1)^4+6\cdot{}(0.25x-1)^2+9 \
[/mm]
zu substituieren.
Wir haben unaufgelöste Klammern substituieren noch nicht gehabt,
ich hoffe mal ich hab das richtig gemacht, ich kam dabei auf:
[mm] (\bruch{1}{8}x²-x)^4+6x*(\bruch{1}{8}x²-x)²+9x
[/mm]
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich hab jetzt mal versucht:
> \ [mm](0.25x-1)^4+6\cdot{}(0.25x-1)^2+9 \[/mm]
> zu substituieren.
>
> Wir haben unaufgelöste Klammern substituieren noch nicht
> gehabt,
> ich hoffe mal ich hab das richtig gemacht, ich kam dabei
> auf:
> [mm](\bruch{1}{8}x²-x)^4+6x*(\bruch{1}{8}x²-x)²+9x[/mm]
Das ist leider nicht richtig.
Zu berechnen ist das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\left(0.25x-1\right)^{4}+6*\left(0.25x-1\right)^{2}+9 \ dx}[/mm]
Substituieren wir nun [mm]z=0.25x-1[/mm]
Dann ist [mm]dz=0.25 \ dx \Rightarrow dx=4 \ dz[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]\integral_{}^{}{\left(0.25x-1\right)^{4}+6*\left(0.25x-1\right)^{2}+9 \ dx}=\integral_{}^{}{\left(z^{4}+6*z^{2}+9\right)*4 \ dz}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{4*z^{4}+24*z^{2}+36 \ dz}[/mm]
Ermittle hier die Stammfunktion und substituiere [mm]0.25x-1=z[/mm].
>
> MfG Sneiper
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Jetzt bin ich endgültig verwirrt. Ähm nochmal ein paar Fragen um das zu beseitigen:
-Hast du nicht schon substituert?
-Inwiefern soll ich die Stammfunktion bilden? Meinst du das mit den eckigen Klammern?
-Meinst du ich soll jetzt nur noch z=0,25x-1 substituieren, einsetzen und daraus die stammfunktion bilden?
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Jetzt bin ich endgültig verwirrt. Ähm nochmal ein paar
> Fragen um das zu beseitigen:
> -Hast du nicht schon substituert?
> -Inwiefern soll ich die Stammfunktion bilden? Meinst du
> das mit den eckigen Klammern?
> -Meinst du ich soll jetzt nur noch z=0,25x-1
> substituieren, einsetzen und daraus die stammfunktion
> bilden?
Erst die Stammfunktion ermitteln, dann das z durch [mm]0,25x-1[/mm] ersetzen.
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich glaub ich weiß jetzt was du meinst, kann das hier stimmen?
integriert:
[mm] [\bruch{4}{5}z^5+8z^3+36z]
[/mm]
z einsetzen:
[mm] [\bruch{4}{5}(0,25x-1)^5+8(0,25x-1)^3+36(0,25x-1)]
[/mm]
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich glaub ich weiß jetzt was du meinst, kann das hier
> stimmen?
>
> integriert:
> [mm][\bruch{4}{5}z^5+8z^3+36z][/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> z einsetzen:
> [mm][\bruch{4}{5}(0,25x-1)^5+8(0,25x-1)^3+36(0,25x-1)][/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich habe jetzt mal das Volumen ausgerechnet für den Bereich x= 0 und 8.
V= [mm] \pi*( (\bruch{4}{5}(0,25*8-1)^5+8(0,25*8-1)^3+36(0,25*8-1) [/mm] ) - [mm] (\bruch{4}{5}(0,25*0-1)^5+8(0,25*0-1)^3+36(0,25*0-1)))
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] *97,6
=306,619...
Ich hoffe mal mir ist da kein Fehler unterlaufen. Bis hierhin schonmal ein riesiges Danke für die Hilfe!
MfG Sneiper
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Hallo Sneiper,
> Ich habe jetzt mal das Volumen ausgerechnet für den Bereich
> x= 0 und 8.
>
> V= [mm]\pi*( (\bruch{4}{5}(0,25*8-1)^5+8(0,25*8-1)^3+36(0,25*8-1)[/mm]
> ) - [mm](\bruch{4}{5}(0,25*0-1)^5+8(0,25*0-1)^3+36(0,25*0-1)))[/mm]
>
> = [mm]\pi[/mm] *97,6
>
> =306,619...
>
> Ich hoffe mal mir ist da kein Fehler unterlaufen. Bis
> hierhin schonmal ein riesiges Danke für die Hilfe!
Leider ist Dir hier ein kleiner Fehler passiert.
Herauskommen sollte: [mm]V=\bruch{448}{5}*\pi=89.6*\pi[/mm]
>
> MfG Sneiper
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Sneiper |
Ich habs nochmal nachgerechnet und du hast recht.
V= [mm] \bruch{448}{5} [/mm] * [mm] \pi [/mm] = 281,486...
Vielen Dank für die Hilfe!
MfG Sneiper
Ps: Ich hab die Tage wahrscheinlich nochmal ein ähnliches Problem, jedoch mit einem Torus oder ähnlichem.
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