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Hi,ich hab hier eine Abituraufgabe,zu der ich einen anderen Lösungsweg wählte,als die Autoren des Lösungbuches...die Lösungen widersprechen sich teilweise,ich finde jedoch keinen Fehler in beiden Lösungswegen,weshalb ich Aufgabenstellung und beide Lösungswege poste.Ich hoffe jmd finden den Fehler.Danke im Vorraus!
Aufgabe: In einem kartesischem Koordinatensystem sind das Quadrat ABCD mit den Eckpunkten A(6|1|-3),B(2|3|1),C(0|7|-3),D(4|5|-7) und die Gerade g: [mm] \vec{x}= \vektor{13\\2\\-1}+ [/mm] y* [mm] \vektor{7\\1\\2} [/mm] gegeben.(Anmerkung: y ist Element von R ).
Bestimmen sie alle Punkte S der Geraden g so,dass die Pyramide ABCDS mit der Spitze S das Volumen mit der Maßzahl 72 besitzt!
Meine Lösungsidee:
V(Pyramide)=1/3*G*h=72
G=| [mm] \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}|*| \overrightarrow{OD}- \overrightarrow{OA}|=36 [/mm] (in Worten:Produkt des Betrages des Vektors von A nach B mit dem Betrag des Vektors von A nach D).
=>h=6
[mm] \vec{h}=-1/2( \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OC})+\vec{s} [/mm] (in Worten:Der Höhenvektor ist gleich der Vektor vom Mittelpunkt der Diagonalen von A nach C zum gesuchten Punkt S)
=> [mm] |\vec{h}|=|\vektor{10\\-2\\2} [/mm] +y* [mm] \vektor{7\\1\\2}|=6 [/mm] (Anmerkung:für spfeil g eingesetzt,da spfeil element g ist)
<=>|(10+7y)²+(y-2)²+(2+2y)²|=36 (Betrag erst aufgelöst,dann beide Seiten quadriert,demnach Betrag wieder angewand)
<=>|6+3y²+8y|=2
<=>4+3y²+8y=0 oder 8+3y²+8y=0
<=>(y+2)(3y+2)=0 ,da 8+3y²+8y>0 für alle y Element R
=> y=-2 oder y=-2/3
=>S1(-1|0|-5) und S2(25/3 |4/3 |-7/3)
Lösung aus dem Lösungsbuch:
Grundseiten der Pyramide:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-4\\2\\4} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{-2\\4\\-4}
[/mm]
Kantenvektor [mm] \overrightarrow{AS}=\vec{x}- \overrightarrow{OA}=\vektor{7\\1\\2}+y* \vektor{7\\1\\2}
[/mm]
Volumen der Pyramide:
[mm] V=1/3|(\overrightarrow{AB} [/mm] X [mm] \overrightarrow{AD})*\overrightarrow{AS}| [/mm] (spatprodukt)
=4*| [mm] \vektor{2\\2\\1}* (\vektor{7\\1\\2}+y* \vektor{7\\1\\2}) [/mm] |
=4*|18+18y|=72
<=>|1+y|=1
=> y=0 oder y=-2
=>S1(13|2|-1) und S2(-1|0|-5)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bluestar
Der vektor [mm]\vec{h}[/mm] ist nicht immer senkrecht auf die Basisfläche. Deshalb deine Formel für die Höhe ist nicht Betrag von [mm]\vec{h}[/mm], sondern der Abstand zwischen Punkt S der Gerade g und Basisebene.
Hier lag dein Fehler.
Schöne Grüße, 
Ladis
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Hi, bluestar,
Ladislau hat Recht!
Du gehst bei Deiner Lösung von einer REGULÄREN Pyramide aus, d.h. Du vermutest, dass die Spitze S der Pyramide genau senkrecht "über" (oder "unter" dem Mittelpunkt der Grundfläche ABCD liegt.
Da die Spitze S aber auf der Geraden g liegt und Du andererseits mehrere (hier: zwei) Lösungen erwartest, könnte das nur dann der Fall sein, wenn die Gerade g selbst in M auf ABCD senkrecht stünde. Das tut sie aber nicht!
Unter dieser Voraussetzung ist es sogar ein "dummer Zufall", dass Du einen der beiden möglichen Punkte richtig rausbekommen hast!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Di 29.03.2005 | | Autor: | bluestar86 |
Dankeschön,das hatte ich echt nicht bedacht!
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