Volumen von Produktmengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:18 Sa 16.04.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] M\subset \IR^m [/mm] eine k-dimensionale und [mm] N\subset \IR^n [/mm] eine l-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Zudem seien [mm] A\subset [/mm] M und [mm] B\subset [/mm] N integrierbare Teilmengen.
Ich soll nun dies zeigen:
(1) [mm] A\times [/mm] B ist eine integrierbare Teilmenge der (k+l)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit [mm] M\times N\subseteq \IR^{m+n} [/mm] [dass dies tatsächlich eine Untermannigfaltigkeit ist, wurde bereits bewiesen.]
(2) [mm] vol_{k+l}(A\times B)=vol_k(A)vol_l(B) [/mm] |
Meine Frage ist, wie man das zeigt.
Zu (1) habe ich mir was überlegt und zwar:
Daraus, dass A integrierbar ist, folgt ja nach Definition, dass [mm] \chi_A(x) [/mm] integrierbar über M ist.
Daraus, dass B integrierbar ist, folgt ja nach Definition, dass [mm] \chi_B(x) [/mm] integrierbar über N ist.
Folgt daraus nicht, dass [mm] \chi_A(x)\times \chi_B(x) [/mm] integrierbar über [mm] M\times [/mm] N ist, was gleichbedeutend damit wäre, dass [mm] A\times [/mm] B integrierbar ist.
Bei (2) grüble ich immer noch rum.
Also [mm] vol_k(A)=\integral_{A} [/mm] dS(x), [mm] vol_l(B)=\integral_{B} [/mm] dS(x), aber:
[mm] vol_{k+l}(A\times [/mm] B)= . . . ?
Hier weiß ich nicht, wie es weitergeht.
Vermutung: [mm] vol_{k+l}(A\times B)=\integral_{A\times B} dS\times [/mm] dS
Es wäre sehr nett, wenn sich jemand meine bisherigen Resultate bei (1) betrachten und mir bei (2) Anstöße geben könnte. Vielen lieben Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Sa 16.04.2011 | | Autor: | mikexx |
Kann mir nicht bitte jemand helfen?
Es ist wirklich wichtig, dass ich diese Aufgabe schaffe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:33 Sa 16.04.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich habe eine Idee zu (2), die ich gern mal hier zur Diskussion stellen möchte.
[mm] vol_{k+l} (A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} [/mm] dS(x)
[Das ist doch einfach die Definition - oder?]
So und ist nicht [mm] \chi_{A\times B}=\chi_A \chi_B? [/mm] Sodass:
[mm] \int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)=\int_{M\times N} \chi_A \chi_B dS=\int_M \chi_A [/mm] dS [mm] \int_M \chi_B dS=vol_k(A) vol_l(B)?
[/mm]
Am Ende wirds glaub ich dann doch etwas konfus.
Hm.. ;(
Noch eine Idee:
Braucht man den Satz von Fubini hier?
Ich weiß auch nicht, vielleicht so:
[mm] vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)\times dS(y)=\int_{M\times N} \chi_A \chi_B dS(x)\times dS(y)=\int_M \int_N \chi_A \chi_B [/mm] dS(y) [mm] dS(x)=\int_M \chi_A \underbrace{\int_N \chi_B dS(y)}_{=vol_l(B)} dS(x)=vol_l(B)\int_M \chi_A dS(x)=vol_l(B) vol_k(A)
[/mm]
[Oder anders herum.]
Geht das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 So 17.04.2011 | | Autor: | mikexx |
Also das mit Fubini, was ich da vorgeschlagen habe, kommt mir irgendwie gewagt vor, aber ich komme an dieser Stelle echt nicht mehr weiter.
Ich frage mich, wieso mir niemand hilft ;(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:03 So 17.04.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich fass nochmal alles zusammen, was meine Idee ist:
Wieso antwortet mir denn niemand? Ignoriert ihr mich? Es gibt hier doch sicher jemanden, der das kann!!
-------------------------------------------------
Aufgabe:
Sei [mm] M\subseteq \IR^m [/mm] eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und [mm] N\subseteq \IR^n [/mm] eine l-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Außerdem seien [mm] A\subseteq [/mm] M und [mm] B\subseteq [/mm] N integrierbare Teilmengen.
Zeigen soll man:
[mm] A\times [/mm] B ist eine integrierbare Teilmenge der k+l-dimensionalen Untermannigfaltigkeit [mm] M\times [/mm] N und es gilt [mm] vol_{k+l}(A\times B)=vol_k(A)vol_l(B).
[/mm]
Meine Idee:
[mm] A\times B\subseteq M\times [/mm] N ist integrierbar, falls [mm] \chi_{A\timesB} [/mm] über [mm] M\times [/mm] N integrierbar ist.
Ich benutze, dass [mm] \chi_{A\times B}=\chi_A\chi_B [/mm] (denke ich, dass das so ist...)und den Satz von Fubini:
[mm] vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)\times dS(y)=\int_{M\times N} \chi_A\chi_B dS(x)\times dS(y)=\int_N \int_M \chi_A\chi_B d(x)dS(y)=\int_N \chi_B \int_M \chi_A dS(x)dS(y)=vol_k(A)\int_N \chi_B dS(y)= vol_k(A)vol_l(B)=\int_M \chi_A dS(x)\int_N \chi_B dS(y) [/mm]
Die letzten beiden Integrale gibts ja nach Voraussetzung.
Ist damit nicht alles gezeigt?
BITTE antwortet doch mal!
Es ist so wichtig für mich!
Es muss doch wenigstens jemand sehen, ob das mit dem Fubini usw. überhaupt stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 19.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
