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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der
Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: [mm] V=\pi*(r*h^{2}-\bruch{1}{3}h^{3}). [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich habe mir gedacht,dass man das vielleicht mit der Rotationsformel berechnen könnte und da der der Tank die Gestalt einer Kugel mit dem Radius r hat,hab ich als Funktionsgleichung [mm] f(x)=r^{2}-x^{2} [/mm] genommen.Wenn ich die quadriere habe ich [mm] r^{2}-x^{2} [/mm] und für das Volumen gilt [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{r^{2}-x^{2} dx}=0.5x^{2}r^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}.
[/mm]
Dieses Integral gibt mir aber das Volumen des gesamten Tankes,ich brauche aber nur das Volumen bis zur Höhe h.Ich weiß aber nicht wie ich das einbauen soll,muss ich vielleicht h als obere und 0 als untere Grenze des Integrals nehmen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Idee ist völlig ok, aber :
> Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit
> einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten
> Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der
> Integralrechnung, dass für das Volumen V der
> eingefüllten Flüssigkeit gilt:
> [mm]V=\pi*(r*h^{2}-\bruch{1}{3}h^{3}).[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich habe mir
> gedacht,dass man das vielleicht mit der Rotationsformel
> berechnen könnte und da der der Tank die Gestalt einer
> Kugel mit dem Radius r hat,hab ich als Funktionsgleichung
> [mm]f(x)=r^{2}-x^{2}[/mm] genommen.
Du meinst f(x) = [mm] \wurzel{r^2-x^2}
[/mm]
> Wenn ich die quadriere habe ich
> [mm]r^{2}-x^{2}[/mm] und für das Volumen gilt
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{r^{2}-x^{2} dx}[/mm]
Richtig !
> [mm]=0.5x^{2}r^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}.[/mm]
>
Nein !
Beachte, dass r hier eine Konstante ist und dass deshalb [mm] r^2 [/mm] integriert [mm] r^2 [/mm] * x ergibt.
> Dieses Integral gibt mir aber das Volumen des gesamten
> Tankes,
Das hängt von a und b ab.
Du bekommst das Volumen einer Kugelschicht von h = a bis h = b, wobei h = 0 in der Kugelmitte liegt.
> ich brauche aber nur das Volumen bis zur Höhe h.Ich
> weiß aber nicht wie ich das einbauen soll,muss ich
> vielleicht h als obere und 0 als untere Grenze des
> Integrals nehmen?
Nicht ganz.
Bedenke, dass der reale Tank von unten nach oben gefüllt wird.
Deine x-Achse (Integrationsrichtung) zeigt aber nach rechts.
Wenn du mit 0 als unterer Greze integrierst, ist das so, als ob du den Tank von der Mitte aus nach unten befüllst. (Du hast den realen Tank um 90° gedreht.) Du musst also von ... (du kommst sicher drauf) bis r integrieren.
Nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen wartet noch ein ganzes Stück Arbeit mit algebraischen Umformungen (Klammern auflösen usw.) auf dich.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> deine Idee ist völlig ok, aber :
>
> > Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit
> > einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten
> > Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der
> > Integralrechnung, dass für das Volumen V der
> > eingefüllten Flüssigkeit gilt:
> > [mm]V=\pi*(r*h^{2}-\bruch{1}{3}h^{3}).[/mm]
> > Hallo zusammen^^
> >
> > Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich habe mir
> > gedacht,dass man das vielleicht mit der Rotationsformel
> > berechnen könnte und da der der Tank die Gestalt einer
> > Kugel mit dem Radius r hat,hab ich als Funktionsgleichung
> > [mm]f(x)=r^{2}-x^{2}[/mm] genommen.
>
> Du meinst f(x) = [mm]\wurzel{r^2-x^2}[/mm]
>
> > Wenn ich die quadriere habe ich
> > [mm]r^{2}-x^{2}[/mm] und für das Volumen gilt
> > [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{r^{2}-x^{2} dx}[/mm]
>
> Richtig !
>
> > [mm]=0.5x^{2}r^{2}-\bruch{1}{3}x^{3}.[/mm]
> >
>
> Nein !
>
> Beachte, dass r hier eine Konstante ist und dass deshalb
> [mm]r^2[/mm] integriert [mm]r^2[/mm] * x ergibt.
>
> > Dieses Integral gibt mir aber das Volumen des gesamten
> > Tankes,
>
> Das hängt von a und b ab.
> Du bekommst das Volumen einer Kugelschicht von h = a bis
> h = b, wobei h = 0 in der Kugelmitte liegt.
>
>
> > ich brauche aber nur das Volumen bis zur Höhe h.Ich
> > weiß aber nicht wie ich das einbauen soll,muss ich
> > vielleicht h als obere und 0 als untere Grenze des
> > Integrals nehmen?
>
> Nicht ganz.
>
> Bedenke, dass der reale Tank von unten nach oben gefüllt
> wird.
> Deine x-Achse (Integrationsrichtung) zeigt aber nach
> rechts.
> Wenn du mit 0 als unterer Greze integrierst, ist das so,
> als ob du den Tank von der Mitte aus nach unten befüllst.
> (Du hast den realen Tank um 90° gedreht.) Du musst also
> von ... (du kommst sicher drauf) bis r integrieren.
Ich muss dann wahrscheinlich von h als obere Grenze anfangen zu integrieren,aber warum denn bis r? Wenn die Mitte 0 ist,dann muss ich doch bis -r als untere Grenze integrieren,sonst würde ich ja von h nach vorne gehen oder?
>
> Nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen wartet noch ein
> ganzes Stück Arbeit mit algebraischen Umformungen
> (Klammern auflösen usw.) auf dich.
>
> Gruß Sax.
>
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[Dateianhang nicht öffentlich]
hier siehst du nochmal die höhe eingezeichnet..
die grenzen fürs integral wären demnach
von -r bis -r+h
ist das ersichtlich/verständlich?
gruß tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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