Volumen von Körpern < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wann kann man zur Volumentsberechnung von Körpern diese Formel anwenden:
V= [mm] \bruch{h}{3}*(F_{1}+F_{2}+\wurzel{F_{1}*F_{2}}) [/mm] |
Für jeden Körper (z.B. Prisma, Zylinder, Kegel, Pyramidenstumpf) gibt es eine eigene Formel zur Berechnung des Volumens.
Da es recht schwierig ist, sich sämtliche Formeln zu merken, habe ich versucht, eine Generalformel aufzustellen, die für die Volumen aller Körper gilt.
Dabei bin ich auf V= [mm] \bruch{h}{3}*(F_{1}+F_{2}+\wurzel{F_{1}*F_{2}}) [/mm] gekommen.
Diese Formel ist anwendbar für:
Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, quadratischer Pyramidenstumpf und Kegelstumpf.
Allerdings - und hier liegt mein Problem - ist sie nicht generell anwendbar.
Nehmen wir an, die untere Fläche eines 4 cm hohen Körpers ist 15 qcm und die obere Fläche ist 10 qcm.
Nach der Formel käme dann generell als Volumen raus: 49.66 ccm
Das ist aber nicht richtig:
Wenn z.B. die untere rechteckige Fläche 5 cm mal 3 cm misst, und die obere rechteckige Fläche 5 cm mal 2 cm misst, dann ist das Volumen genau 50 ccm.
Eine Fläche von 49.66 ccm ergibt sich dagegen nur, wenn die untere rechteckige Fläche 5 cm mal 3 cm misst, und die obere rechteckige Fläche etwa 4.082 cm mal 2.449 cm misst.
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> Wann kann man zur Volumentsberechnung von Körpern diese
> Formel anwenden:
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> V= [mm]\bruch{h}{3}*(F_{1}+F_{2}+\wurzel{F_{1}*F_{2}})[/mm]
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> Für jeden Körper (z.B. Prisma, Zylinder, Kegel,
> Pyramidenstumpf) gibt es eine eigene Formel zur Berechnung
> des Volumens.
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> Da es recht schwierig ist, sich sämtliche Formeln zu
> merken, habe ich versucht, eine Generalformel aufzustellen,
> die für die Volumen aller Körper gilt.
>
> Dabei bin ich auf V=
> [mm]\bruch{h}{3}*(F_{1}+F_{2}+\wurzel{F_{1}*F_{2}})[/mm] gekommen.
>
> Diese Formel ist anwendbar für:
> Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, quadratischer
> Pyramidenstumpf und Kegelstumpf.
>
> Allerdings - und hier liegt mein Problem - ist sie nicht
> generell anwendbar.
>
> Nehmen wir an, die untere Fläche eines 4 cm hohen Körpers
> ist 15 qcm und die obere Fläche ist 10 qcm.
>
> Nach der Formel käme dann generell als Volumen raus: 49.66
> ccm
>
> Das ist aber nicht richtig:
> Wenn z.B. die untere rechteckige Fläche 5 cm mal 3 cm
> misst, und die obere rechteckige Fläche 5 cm mal 2 cm
> misst, dann ist das Volumen genau 50 ccm.
>
> Eine Fläche von 49.66 ccm ergibt sich dagegen nur, wenn die
> untere rechteckige Fläche 5 cm mal 3 cm misst, und die
> obere rechteckige Fläche etwa 4.082 cm mal 2.449 cm misst.
hallo rabilein,
Alle Körper, die du oben genannt hast, kann man einer
gemeinsamen Kategorie zuordnen: "verallgemeinerter
Kegelstumpf". Zu jedem solchen Körper gibt es eine "Spitze",
d.h. einen Punkt, in welchem alle Mantellinien zusammen-
laufen. Bei den Prismen und Zylindern ist diese "Spitze"
ein "Fernpunkt" (-> projektive Geometrie). Zudem gibt es
jeweils zwei zueinander parallele Ebenen, welche den Körper -
zusammen mit der Mantelfläche - begrenzen. Bei Pyramide
und Kegel verläuft die eine dieser Ebenen durch die Spitze.
Für solche Körper verhalten sich die Querschnittsflächen, die
man durch ebene Schnitte parallel zur Grundebene erhält,
nach einer einheitlichen (quadratischen) Funktion, welche
bei der Integration deine Formel ergibt.
Die Beispiele, die du dann noch angibst, sind meiner
Ansicht nach gar nicht eindeutig definiert. Man kann aus
den Angaben (Grundfläche = Rechteck 5 cm mal 3 cm,
Deckfläche = Rechteck 5 cm mal 2 cm) verschiedene
Polyeder mit unterschiedlichen Volumina machen. Sie
gehören auch nicht unbedingt zur oben definierten
Klasse der "verallgemeinerten Kegelstümpfe".
lieben Gruß !
al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 05.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Alle Körper, die du oben genannt hast, ... haben eine "Spitze",
> Für solche Körper verhalten sich die Querschnittsflächen, ...
> nach einer einheitlichen (quadratischen) Funktion
Ja, genau das war mir auch aufgefallen.
> Die Beispiele, die du dann noch angibst, sind meiner
> Ansicht nach gar nicht eindeutig definiert.
Ich dachte da an folgendes:
Man hat ein x-Eck als Grundfläche und weiß, wie groß sein Flächeninhalt [mm] F_{1} [/mm] ist. Und dann hat man in der Höhe h ebenfalls ein x-Eck mit bekanntem Flächeninhalt [mm] F_{2}. [/mm] Man verbindet nun jeden Punkt der unteren Fläche mit dem entsprechenden Punkt der oberen Fläche - (Wie nennt man eigentlich so ein Gebilde?)
Tja, und wie berechnet man nun das Volumen dieses Körpers ??
Ich glaubte zunächst, dafür könnte man "meine" Formel verwenden - aber Pustekuchen. Die haut ja schon nicht einmal bei einem simplem Dach hin = siehe die Aufgabe mit 5 mal 3 unten und 5 mal 2 oben.
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> > Alle Körper, die du oben genannt hast, ... haben eine
> "Spitze",
> > Für solche Körper verhalten sich die
> Querschnittsflächen, ...
> > nach einer einheitlichen (quadratischen) Funktion
>
> Ja, genau das war mir auch aufgefallen.
>
>
> > Die Beispiele, die du dann noch angibst, sind meiner
> > Ansicht nach gar nicht eindeutig definiert.
>
> Ich dachte da an folgendes:
> Man hat ein x-Eck als Grundfläche und weiß, wie groß sein
> Flächeninhalt [mm]F_{1}[/mm] ist. Und dann hat man in der Höhe h
> ebenfalls ein x-Eck mit bekanntem Flächeninhalt [mm]F_{2}.[/mm] Man
> verbindet nun jeden Punkt der unteren Fläche mit dem
> entsprechenden Punkt der oberen Fläche - (Wie nennt man
> eigentlich so ein Gebilde?)
Was der "entsprechende Punkt der oberen Fläche"
sein soll, müsste erst definiert werden.
Falls das Grund-x-Eck und das Deck-x-Eck paarweise
parallele Seiten haben, können die x Seitenflächen
ebene Vierecke sein. Der entsprechende Körper wird
aber kein "verallgemeinerter Kegelstumpf" sein, wenn
das Grund-x-Eck und das Deck-x-Eck nicht ähnlich
zueinander sind. Sind Grund- und Deckvieleck gegen-
einander verdreht, so sind die Seitenflächen gar nicht
mehr eben, sondern gekrümmt. Wenn sie trotzdem
durch Strecken erzeugt sind, sind es sogenannte
"Regelflächen".
> Tja, und wie berechnet man nun das Volumen dieses Körpers ??
Je nach genauer Definition des Körpers - und möglicherweise
halt nicht nach einer "Universalformel" !
P.S.: Du hast mich mit deiner Anfrage an eine "Universalformel"
für Flächeninhalte einfacher Figuren in der Ebene erinnert,
die ich vor einiger Zeit meinen SchülerInnen präsentiert
habe:
Sie lautet: F=h*m
und ist gültig für:
Trapez, Rechteck, Quadrat, Dreieck, Parallelogramm,
Kreissektor, Kreisring, Kreis
(man muss sich nur klar machen, was jeweils h und
m genau bedeuten)
LG al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 06.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Was der "entsprechende Punkt der oberen Fläche"
> sein soll, müsste erst definiert werden.
> Sind Grund- und Deckvieleck gegeneinander verdreht,
> so sind die Seitenflächen gar nicht mehr eben, sondern gekrümmt.
Ja, du hast völlig Recht. Das war mir gar nicht so bewusst. Ich kann mir solche Figuren schlecht räumlich vorstellen.
Ich habe mal versucht, das zu zeichnen. Links und rechts ist jeweils unten und oben das gleiche Fünfeck.
In der linken Figur ordne ich die Punke "normal" zu. In der rechten Figur habe ich dagegen die Punkte anders miteinander verbunden - und ....
.... hmmm - wie ist denn nun das Volumen von so einer Figur????
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> > Was der "entsprechende Punkt der oberen Fläche"
> > sein soll, müsste erst definiert werden.
>
> > Sind Grund- und Deckvieleck gegeneinander verdreht,
> > so sind die Seitenflächen gar nicht mehr eben, sondern
> gekrümmt.
>
> Ja, du hast völlig Recht. Das war mir gar nicht so bewusst.
> Ich kann mir solche Figuren schlecht räumlich vorstellen.
>
> Ich habe mal versucht, das zu zeichnen. Links und rechts
> ist jeweils unten und oben das gleiche Fünfeck.
>
> In der linken Figur ordne ich die Punke "normal" zu. In der
> rechten Figur habe ich dagegen die Punkte anders
> miteinander verbunden - und ....
> .... hmmm - wie ist denn nun das Volumen von so einer
> Figur????
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
hallo rabilein,
endlich schau ich mal wieder in den MatheRaum und treffe
hier deine Frage an. Wenn man zwischen zwei linear para-
metrisierten Strecken
[mm] \overline{AB}:\qquad \vec{P}(t)=\vec{A}+t*\overrightarrow{AB}\qquad (t\in [/mm] [0..1])
und [mm] \overline{A'B'}:\quad \vec{P'}(t)=\vec{A'}+t*\overrightarrow{A'B'}\qquad (t\in [/mm] [0..1])
eine Fläche spannt, so dass jeweils P(t) mit P'(t) durch eine
Strecke verbunden werden, so entsteht ein Ausschnitt aus
einem sogenannten "hyperbolischen Paraboloid".
Für die Volumenberechnung eines Körpers, der durch solche
(ev. auch ebene) Seitenflächen begrenzt ist, gibt es wohl
keine so einfache Volumenformel. Grundsätzlich sollte es
aber möglich sein, mittels Integralen durchzukommen.
Allerdings wären als Eingangsdaten mehr als nur Grund-
fläche, Deckfläche und Höhe erforderlich, sondern weitere
Parameter, die die gegenseitige Lage der durch Seitenflächen
verbundenen Kanten beschreiben.
LG al-Chw.
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hallo rabilein !
da mich das Thema interessiert, habe ich mir einmal
einen speziellen Fall überlegt:
Ich gehe von einem Würfel mit der Kantenlänge 1 aus.
Dann wird die Deckfläche gegenüber der Grundfläche
um einen Winkel [mm] \varphi [/mm] verdreht (Drehachse durch
die Mittelpunkte dieser Flächen). Die ursprünglich
senkrecht stehenden "Mantellinien" werden dabei
gegeneinander verdrillt. Es entsteht ein Körper mit
zwei ebenen quadratischen und 4 zueinander kon-
gruenten sattelförmig gekrümmten Seitenflächen.
Jeder zu Grund- und Deckfläche parallele ebene
Schnitt ergibt eine quadratische Querschnittsfläche.
Deshalb lässt sich das Volumen durch Integration
recht leicht ermitteln. Ergebnis:
[mm] V(\varphi)=\bruch{cos(\varphi)+2}{3}
[/mm]
einige Spezialfälle:
V(0)=1 = Würfelvolumen, wie es sein soll !
[mm] V(\pi/3)=5/6
[/mm]
[mm] V(\pi/2)=2/3
[/mm]
[mm] V(\pi)=1/3 [/mm] (Doppelpyramide)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Mi 10.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> einige Spezialfälle:
> V(0)=1 = Würfelvolumen, wie es sein soll !
> ...
> [mm]V(\pi)=1/3[/mm] (Doppelpyramide)
Das finde ich sehr interessant. Danke.
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Mein Versuch, die Idee des "verdrehten Würfels" grafisch
umzusetzen, führte zu folgenden Ergebnissen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
ohne Boden und Deckel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Betrachtung der Rot/Grün-Bilder ist eine Rot/Grün-Brille
für Anaglyphen erforderlich, um sie dreidimensional zu sehen.
(programmiert in Top-Pascal)
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 10.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Vielen Dank für die Bilder. Zufäligerweise habe ich so eine Brille und kann mir das nun alles gut vorstellen.
Die Ursprungsaufgabe entstand eigentlich dadurch, weil es für Schüler der 9. Klasse recht kompliziert ist, sich so viele Formeln für so viele Figuren zu merken. Und dann dachte ich mir, ob man da nicht eine Generalformel für alles entwickeln könnte.
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> Vielen Dank für die Bilder. Zufäligerweise habe ich so eine
> Brille und kann mir das nun alles gut vorstellen.
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> Die Ursprungsaufgabe entstand eigentlich dadurch, weil es
> für Schüler der 9. Klasse recht kompliziert ist, sich so
> viele Formeln für so viele Figuren zu merken. Und dann
> dachte ich mir, ob man da nicht eine Generalformel für
> alles entwickeln könnte.
Guten Abend Ralph !
Eine Formel "für alles" gibt es wie schon gesagt nicht,
aber deine Formel deckt doch recht vieles von dem ab,
was in der Schulgeometrie an Volumenformeln so vorkommt.
Ich habe ja die analoge Formel für Flächen ebener Figuren
erwähnt:
[mm] F = hm = \bruch{h}{2}(g_1+g_2)[/mm]
also die Formel für den Flächeninhalt von Trapezen, die
natürlich auch für Dreiecke, Parallelogramme inkl. Rechtecke
und Quadrate gilt und sogar für Kreissektor, Kreisring und
den Kreis gilt. Beim Kreis entspricht die "Höhe" dem Radius
und die Mittellinie einem konzentrischen Kreis mit dem Radius r/2.
In analoger Weise kannst du deine Formel auf die Kugel
anwenden: h = Radius , [mm] F_1 [/mm] = Kugeloberfläche , [mm] F_2 [/mm] = 0
(man denkt sich die Kugel als einen nach innen gestülpten
Kegel mit "Spitze" im Kugelzentrum). Dann hast du
[mm] V = \bruch{h}{3}(F_1+F_2+\wurzel{F_1F_2}) [/mm]
[mm] = \bruch{r}{3}(4\pi\ r^2+0+\wurzel{0}) = \bruch{4 \pi}{3}r^3 [/mm]
Der anschauliche Vergleich, der mir dazu gerade noch einge-
fallen ist, ist wohl vom pädagogischen bzw. tierschützerischen
Standpunkt nicht korrekt: Ein bedrohter Igel richtet seine
Stacheln nach aussen. Würde man nun das Igelfell so einrollen,
dass die Stacheln nach innen zeigen, hätte man eine fast
perfekte Analogie dazu, dass man das Kugelvolumen mit guter
Näherung in eine grosse Anzahl von Kegelvolumina zerlegen kann...
LG
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Ich weiß nicht, aus welchem verflixten Grund die
Formeln in meinem obigen Text nicht richtig
rüberkommen. Über eine halbe Stunde habe ich
an den Formeln herumgebastelt. In der Vorschau
war es einmal richtig, dann ohne ersichtlichen
Grund wieder falsch, und umgekehrt, und im
eingesandten Text kommen immer wieder nur
die blauen Fragezeichen statt der Formeln.
Was mache ich falsch? Wer kann helfen?
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Do 11.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Was mache ich falsch? Wer kann helfen?
Ich glaube nicht, dass DU da etwas falsch gemacht hast. Insbesondere, weil es ja in der Vorschau richtig angezeigt wurde.
Es handelt sich wohl eher um ein generelles Problem im Matheraum. So etwas habe ich auch schon einige Male erlebt.
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> > Was mache ich falsch? Wer kann helfen?
>
> Ich glaube nicht, dass DU da etwas falsch gemacht hast.
> Insbesondere, weil es ja in der Vorschau richtig angezeigt
> wurde.
>
> Es handelt sich wohl eher um ein generelles Problem im
> Matheraum. So etwas habe ich auch schon einige Male erlebt.
>
Inzwischen funktioniert's ja auch wieder. Hoffen wir, dass es hält.
LG Al
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Hallo!
Du suchst vermutlich nach der Formel [mm] V=\frac{h}{3}G [/mm] für Kegel.
Dabei ist h die Höhe des Punktes, in dem die Mantelfläche zusammenläuft über der beliebig geformten, ebenen Grundfläche G.
Wenn du nun stumpfe Kegel hast, bildest du die Differenz:
[mm] V=\frac{h_1}{3}G_1-\frac{h_2}{3}G_2
[/mm]
Natürlich wirst du meist statt der Höhe dieses Punktes den Abstand der beiden Grundflächen gegeben haben.
Hier kommst du mit Überlegungen weiter, wie du sie vom Strahlensatz kennst. Allerdings: die Fläche ist proportional ZUM QUADRAT der Höhe. Versuchs damit mal!
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