Volumen im R^3 < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Fr 18.06.2010 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Volumina im [mm] $R^3$
[/mm]
a) Bestimmen Sie das Volumen, das im ersten Oktanten [mm] $x\geq [/mm] 0$, [mm] $y\geq [/mm] 0$ und [mm] $z\geq [/mm] 0$ durch [mm] $x^2+y^2=16$ [/mm] und $x=z$ begrenzt wird.
b) Bestimmen Sie das Volumen, das durch $2z-2y=4$ und [mm] $4x^2+y^2=4z$ [/mm] begrenzt wird. |
Hallo,
zum einen habe ich die Verständnisfrage, ob bei b) auch der erste Oktant gemeint ist oder der ganze [mm] $R^3$.
[/mm]
Grundsätzlich verstehe ich aber diese Volumenbestimmung nicht. Also ich weiß nicht wie ich anfangen soll und wie man das rechnet. Vielleicht kann mir erstmal jemand beim Anfang helfen und ich probiere es von dort dann alleine weiter und gebe mein Ergebnis hier an.
Vielen Dank für Eure Hilfe! (Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die folgenden Volumina im [mm]R^3[/mm]
> a) Bestimmen Sie das Volumen, das im ersten Oktanten [mm]x\geq 0[/mm],
> [mm]y\geq 0[/mm] und [mm]z\geq 0[/mm] durch [mm]x^2+y^2=16[/mm] und [mm]x=z[/mm] begrenzt
> wird.
> b) Bestimmen Sie das Volumen, das durch [mm]2z-2y=4[/mm] und
> [mm]4x^2+y^2=4z[/mm] begrenzt wird.
> Hallo,
>
> zum einen habe ich die Verständnisfrage, ob bei b) auch
> der erste Oktant gemeint ist oder der ganze [mm]R^3[/mm].
Ich denke, dass sich die Einschränkung auf den ersten
Oktanten nur auf die Aufgabe a) bezieht.
> Grundsätzlich verstehe ich aber diese Volumenbestimmung
> nicht. Also ich weiß nicht wie ich anfangen soll und wie
> man das rechnet. Vielleicht kann mir erstmal jemand beim
> Anfang helfen und ich probiere es von dort dann alleine
> weiter und gebe mein Ergebnis hier an.
Hallo MasterEd,
es lohnt sich bestimmt, sich zunächst einmal die beteiligten
Begrenzungsflächen in einer Zeichnung anschaulich klar zu
machen, damit man sich die Körper vorstellen kann.
In a) hat man z.B. 4 Ebenen und eine Zylinderfläche, in b)
eine Ebene und ein (elliptisches) Paraboloïd.
Dann muss man sich überlegen, wie man die Integration
durchführen will, insbesondere die Reihenfolge der Inte-
grationen. Dabei geht es gewissermaßen darum, in welcher
Weise man eine "Tomografie" des Körpers macht, diesen
also "durchscannt".
Im Allgemeinen gibt es dazu verschiedene Möglichkeiten.
Bei Aufgabe a) würde ich die Reihenfolge so wählen:
$\ V\ =\ [mm] \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}dx\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}(x)}dy\ \integral_{z=z_{min}}^{z_{max}(x)}dz$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 18.06.2010 | | Autor: | MasterEd |
Hallo Al-Chwarizmi!
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Verstehe ich das richtig, dass ich die Ergebnisse der 3 Integrale bei
$ \ V\ =\ [mm] \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}dx\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}(x)}dy\ \integral_{z=z_{min}}^{z_{max}(x)}dz [/mm] $
einfach multiplizieren muss?
Wie komme ich auf die Grenzen z.B. [mm] $x_{min}$ [/mm] und [mm] $x_{max}$? [/mm] Da muss ich doch sicher irgendwas gleichsetzen, nur was?
Oh und eine Frage ist mir gerade noch aufgekommen: Was hat das $(x)$ bei [mm] $y_{max}(x)$ [/mm] zu bedeuten (analog bei $z$)?
Vielen Dank, nochmals, für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Verstehe ich das richtig, dass ich die Ergebnisse der 3
> Integrale bei
> [mm]\ V\ =\ \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}dx\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}(x)}dy\ \integral_{z=z_{min}}^{z_{max}(x)}dz[/mm]
>
> einfach multiplizieren muss?
Nein; fange beim Integrieren hinten an und arbeite dich
nach vorne durch. Man könnte das Ganze z.B. auch so schreiben:
[mm]\ V\ =\ \integral_{x=x_{min}}^{x_{max}}\left(\ \integral_{y=y_{min}}^{y_{max}(x)}\left(\ \integral_{z=z_{min}}^{z_{max}(x)}dz\right)\ dy\right)\ dx[/mm]
(hier in der innersten Klammer anfangen !)
> Wie komme ich auf die Grenzen z.B. [mm]x_{min}[/mm] und [mm]x_{max}[/mm]? Da
> muss ich doch sicher irgendwas gleichsetzen, nur was?
Um diese Unter- und Obergrenzen zu ermitteln, musst du
dir den Körper anschauen (deswegen der Ratschlag, zuerst
eine Zeichnung zu machen - hast du die schon ?).
> Oh und eine Frage ist mir gerade noch aufgekommen: Was hat
> das [mm](x)[/mm] bei [mm]y_{max}(x)[/mm] zu bedeuten (analog bei [mm]z[/mm])?
Damit soll nur darauf hingewiesen sein, dass diese Obergrenzen
vom jeweiligen x-Wert abhängig sind. Die Untergrenzen sind
im vorliegenden Beispiel nicht von x abhängig.
Ich gebe mal nur eine der Grenzen an: [mm] y_{max}(x)=\sqrt{16-x^2}
[/mm]
LG
|
|
|
|
