Volumen einer Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 20.02.2007 | | Autor: | KrabatR. |
| Aufgabe | Geg.: A(2/0/0); B(0/-4/1); C(0/0/1); P(0/6/8)
a.) Parallelogramm: D?
b.) Volumen der Pyramide ABCD P |
Hallo
ich habe schon entwas rumgerechnet (2 St.) und bin zu folgendem Ergebniss gekommen:
1.) D(2/4/0)
2.) Flächer des Oarallelogramms [mm] \approx [/mm] 8,944
und nun das Problem:
3.) Höhe der Pyramide [mm] \approx [/mm] 1.114 und das kann nicht stimmen!
Ich habe gezeichnet und rumprobiert aber ich komme immer auf das gleiche ergebniss!
[mm] h=|(\vec{x_p} -\vec{x_A})*\vec{e}n|
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=|\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}*\bruch{1}{\wurzel{29}}|
[/mm]
[mm] h=|\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}*\bruch{1}{\wurzel{29}}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=\bruch{6}{\wurzel{29}}=1,114
[/mm]
weiter kann ich auch rechnen! Aber die höhe von 1,114 kommt mir komisch vor!
Mein nächster Schritt wäre mit der Formel [mm] V=\bruch{1}{3}g*h [/mm] weiter zu rechnen:
[mm] V=\bruch{1}{3}*8,944*1,114
[/mm]
[mm] \Rightarrow V_{ABCD P}=3,321
[/mm]
Kann mir jemand aufzeigen, wo mein Fehler liegt???
Vielen dank
Krabat R.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dann werde ich mal meine weiteren Rechnungen hinzufügen:
[mm] \vec{a}=\vec{x_b}-\vec{x_a}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vec{x_c}-\vec{x_b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{x_d}=\vec{x_a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] D=(2/4/0)
Fläche:
[mm] F=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin \alpha
[/mm]
cos [mm] \alpha= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm] = [mm] \bruch{\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{21}*\wurzel{16}} [/mm] = [mm] \bruch{-16}{\wurzel{21}*\wurzel{16}} \approx [/mm] -0,873 [mm] \Rightarrow \alpha \approx [/mm] 150,79°
Höhe:
[mm] h=|(\vec{x_p} -\vec{x_A})*\vec{e}n|
[/mm]
dazu errechne ich den Normalenvektor:
[mm] \vec{n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] (Kreuzprodukt) [mm] \Rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=|\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}*\bruch{1}{\wurzel{29}}|
[/mm]
[mm] h=|\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}*\bruch{1}{\wurzel{29}}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=\bruch{6}{\wurzel{29}}=1,114
[/mm]
Sieht einer von euch nun meinen fehler??? Ich wäre dem Finder sehr verbunden!
Gruß und Dank
KrabatR.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Di 20.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk, dein Normalenvektor ist falsch, auf jeden Fall ist er nicht senkrecht AB
Gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du musst hier neben dem Vektor [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] den Vektor [mm] $\overrightarrow{A\red{C}}$ [/mm] verwenden. Schließlich spannen diese beiden Vektoren diejenige Ebene des Parallelogramm's auf, für welche der Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] gesucht wird.
