Volumen einer Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Do 03.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich möchte das Volumen von [mm] A=\{x\in\IR:0\le x_2\le1,1\le x_1^2+x_3^2\le4,0\le x_3\le x_1\sqrt{3}\} [/mm] bestimmen.
Dazu habe ich eine Parametrisierung mit [mm] \Phi(r,\rho,t)=(r cos(\rho),r sin(\rho),t) [/mm] durchgeführt und mit
[mm] 1\le r\le4, [/mm]
[mm] 0\le t\le rcos(\rho)\sqrt{3},
[/mm]
[mm] 0\le sin(\rho)\le1\Rightarrow0\le \rho\learcsin(1/r)
[/mm]
folgende Integralgrenzen erhalten
[mm] $Vol(A)=\int_1^4(\int_0^{arcsin(1/r)}(\int_0^{\sqrt{3}rcos(\rho)}1dt)d\rho) [/mm] dr$
Als Ergebnis erhalte ich [mm] Vol(A)=3\sqrt{3}.
[/mm]
Mir geht es primär um die Integralsgrenzen. Habe ich sie richtig bestimmt oder ist mir ein Fehler unterlaufen?
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 03.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Herbart!
> Hallo,
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> ich möchte das Volumen von [mm]A=\{x\in\IR:0\le x_2\le1,1\le x_1^2+x_3^2\le4,0\le x_3\le x_1\sqrt{3}\}[/mm]
> bestimmen.
> Dazu habe ich eine Parametrisierung mit [mm]\Phi(r,\rho,t)=(r cos(\rho),r sin(\rho),t)[/mm]
> durchgeführt und mit
> [mm]1\le r\le4,[/mm]
> [mm]0\le t\le rcos(\rho)\sqrt{3},[/mm]
> [mm]0\le sin(\rho)\le1\Rightarrow0\le \rho\learcsin(1/r)[/mm]
Zylinderkoordinaten sind schonmal ne gute Idee. Aber du musst schon die Lage des Körpers beachten. Die Menge A beschreibt eine Art Kuchenstück, das auf der [mm]x_1-x_3-[/mm]Ebene steht und von dem die Spitze weggeschnitten wurde. Oder: Es handelt sich um einen Sektor eines Ringes.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt zu den Zylinderkoordinaten: [mm]0\le x_2\le 1[/mm] steht für die "Höhe" t des Zylinders.
[mm]1\le x_1^2+x_3^2\le 4[/mm] beschreibt die Grund- bzw. Deckfläche
[mm]0\le x_3 \le \sqrt3 x_1[/mm] begrenzt den Zylinder auf einen Sektor.
Insgesamt: [mm]\Phi(r, \rho,t)=(r\cos\rho, t, r\sin\rho)[/mm] mit
[mm]0\le t\le 1[/mm]
[mm]1\le (r\cos\rho)^2+(r\sin\rho)^2\le 4 \Longrightarrow 1\le r\le 2[/mm] (warum 2 und nicht 4?)
[mm]0\le r\sin\rho \le \sqrt3 r\cos\rho \Longrightarrow 0\le\tan\rho\le\sqrt 3 \Longrightarrow 0\le\rho\le \frac \pi 3[/mm]
> folgende Integralgrenzen erhalten
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> [mm]Vol(A)=\int_1^4(\int_0^{arcsin(1/r)}(\int_0^{\sqrt{3}rcos(\rho)}1dt)d\rho) dr[/mm]
Abgesehen von den falschen Integrationsgrenzen musst du [mm]\int\int\int r\ dr\ d\rho\ dt[/mm] berechnen.
> Als Ergebnis erhalte ich [mm]Vol(A)=3\sqrt{3}.[/mm]
Ich komme auf [mm]\frac \pi 2[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine sehr anschauliche Antwort! Mir ist einiges klarer geworden!
LG Herbart
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