Volumen einer Kugelkappe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 28.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Volumen der Kugelkappe in Abhängigkeit vom Radius r der kugel und der Höhe h der Kugelkappe.
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Hallo =)
Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.
Ich könnte zwar zuerst den Kegel rotieren lassen und dessen Volumen berechnen,aber irgendwie bringt mich das nicht weiter,weil ich keine Funktion für die Kappe habe.Könnt ihr mir irgendwie weiterhelfen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 28.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze kannst du mit Rotationskörpern lösen.
Nimm mal den Kreis mit der Kreisgleichung (x-0)²+(y-0)²=r² [mm] \gdw [/mm] x²+y²=r² (Mittelpunkt ist im Ursprung) und lasse ihn in Gedanken Rotieren. Dann ergibt sich die abgebildete Kugel.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann nimm mal den Wert x=r-h her, und berechne dazu den Wert auf der Kugel.
Also: (r-h)²+y²=r²
[mm] \gdw [/mm] r²-2rh+h²+y²=r²
[mm] \gdw [/mm] y²=2rh-h²
[mm] \gdw y=\wurzel{2rh-h²}
[/mm]
Jetzt hast du den blau markierten Punkt [mm] P((r-h);\wurzel{2rh-h²}) [/mm] und kannst damit eine Gerade g(t) durch den Ursprung O(0;0) und diesen Punkt legen, also hast du:
[mm] m=\bruch{\wurzel{2rh-h²}-0}{(r-h)-0}=\bruch{\wurzel{2rh-h²}}{r-h}
[/mm]
[mm] g(t)=\bruch{\wurzel{2rh-h²}}{r-h}*t
[/mm]
Und diese Gerade kannst du jetzt mal von 0 bis x(=r-h) um die x-Achse rotieren lassen, um das Volumen des Kegelstumpfes zu bekommen.
Also:
[mm] V=\pi*\integral_{0}^{x}(g(t))²dt
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{0}^{r-h}\left(\bruch{\wurzel{2rh-h²}}{r-h}*t\right)^{2}dt
[/mm]
Das ganze ergibt dann eine Formel mit r und h also hast du das Volumen V(r;h)
EDIT: ich sehe gerade, dass du damit den Kegelstumpf berechnest, du aber die Kugelkappe haben willst. Dazu musst du dann mal ein wenig mit den Volumina der Körper herumspielen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 28.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy (und auch M.Rex)!
Du musst hier die umgestellte Kreisgleichung in den Grenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ r-h$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ r$ kreisen lassen:
$$V(h) \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{[f(x)]^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{r-h}^{r}{r^2-x^2 \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 28.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Loddar.
So einfach.... ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 28.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy (und auch M.Rex)!
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> Du musst hier die umgestellte Kreisgleichung in den Grenzen
> [mm]x_1 \ = \ r-h[/mm] sowie [mm]x_2 \ = \ r[/mm] kreisen lassen:
> [mm]V(h) \ = \ \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{[f(x)]^2 \ dx} \ = \ \pi*\integral_{r-h}^{r}{r^2-x^2 \ dx}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke für den Hinweis, welche umgestellte Kreisgleichung meinst du denn?
Das Integral,was du aufgeschrieben hast,ist doch für die normale Kreisgleichung.
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy (und auch M.Rex)!
> >
> > Du musst hier die umgestellte Kreisgleichung in den Grenzen
> > [mm]x_1 \ = \ r-h[/mm] sowie [mm]x_2 \ = \ r[/mm] kreisen lassen:
> > [mm]V(h) \ = \ \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{[f(x)]^2 \ dx} \ = \ \pi*\integral_{r-h}^{r}{r^2-x^2 \ dx}[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
> Danke für den Hinweis, welche umgestellte Kreisgleichung
> meinst du denn?
> Das Integral,was du aufgeschrieben hast,ist doch für die
> normale Kreisgleichung.
Mit "umgestellter Kreisgleichung" ist gemeint:
[mm]x^{2}+y^{2}=r^{2} \Rightarrow y = \wurzel{r^{2}-x^{2}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Das Volumen der Kugelkappe oder Kugelkalotte ist gleich null.
Grund: Die Kugelkappe ist ein Flächenstück.
Definition (nach Wikipedia):
Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird
Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
Wenn nach dem Volumen gefragt wird, ist wohl der entspre-
chende (dreidimensionale !) Kugelabschnitt (Kugelsegment)
gemeint.
Gruß
Al-Chw.
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