Volumen des Parallelotops < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Auch mit der folgenden Aufgabe hab ich so meine Probleme:
Sei a [mm] \in [/mm] M(n; [mm] \IR) [/mm] die Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] v_{1},....,v_{n} [/mm] und [mm] \IR^{n} [/mm] versehen mit dem Standardskalarprodukt.
Zeigen Sie, daß [mm] \gamma(v_{1},....,v_{n}) [/mm] = (det [mm] a)^{2} [/mm] und folgern Sie daraus, daß das Volumen des Parallelotops [mm] P(v_{1},....,v_{n}) [/mm] gleich |det a | ist.
Folgendes habe ich mir überlegt:
(det [mm] a)^{2} [/mm] = (det a)*(det a) = (det a)*(det [mm] a^{t}).
[/mm]
weiter ist die Gramsche Determinante als Determinante der Gramschen Matrix [mm] g_{ij}=() [/mm] definiert. Am Zahlenbeispiel funktioniert die Beh. perfekt, allerdings weiß ich nicht, wie ich das für n-Dimensionen sauber allgemein beweisen soll...
Für Tipps wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Mit deinem Ansatz [mm] $\det (A)^2=\det(A)*\det(A^T)$ [/mm] bist du schon nahe dran! Es gilt dann nämlich:
[mm] $\det (A)^2=\det(A)*\det(A^T)=\det(AA^T)$.
[/mm]
Und wenn du dir die Definition der Gramschen Matrix genauer ansiehst, wirst du feststellen, dass sie gerade $A^TA$ ist...
Wie man das allerdings mit dem Parallelotop in Verbindung bringt, weiß ich leider nicht...
Gruß, banachella
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Hi Planloser
Schreib dir mit deinem Ansatz einfach auf wie das Standartskalarprodukt zwischen den Vektoren aussehen würde. Nenn die Komponenten von
v1 = (v11 , ........, vn1..... vn =( v1n .......... vnn). Und nun schreib dir auf mit der definition von Matrizenmultiplikation (indest du im alten skript)wie [mm] a*a^{t} [/mm] aussieht du wirst sehen die Einträge sind gleich.
Der zweite Teil der Aufgabe folgt aus aufgabe 4 vom letzten blatt.
na dann bis bald mr coffee
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Vielen Dank für die Hilfe!!!
Nur noch eine kurze Frage: Kann es sein, dass man mit [mm] v_{1},....,v_{n} [/mm] die
Zeilenvektoren der Matrix [mm] a_{ij} [/mm] bezeichnen muß und nicht wie in der Aufgabenstellung die Spaltenvektoren? Oder ist das eh egal?
Dann kommt es tatsächlich auch bei mir hin!
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Kein Problem bin ja selbst schon oft am Thorbergsson verzweifelt. Hab auch erst gedacht da liegt ein fehler vor aber genau deswegen brauchst du [mm] a^{t} [/mm] dadurch wird das ganze dann egal. Eine frage noch hast du die letzte aufgabe oder die 1b gelößt. danke gruß mrcoffee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 01.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Die hinrichtung der 1b hat er in der Vorlesung schon gezeigt und die Rückrichtung geht ziemlich ähnlich... Viel Glück 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Do 02.06.2005 | | Autor: | Planloser |
Hallo taura!
Wo wurde 1b) in der VL gezeigt? Kann es im Skript einfach nicht finden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Planloser |
 ) 1b) hat sich damit wohl erledigt, danke für den Tipp!
zur 5): leider noch keine Ahnung, sorry!
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