Volumen des Kugelsegments < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist eine kugelkappe mit dem kugelradius $R$ und einer höhe der kugelkappe von $H=R-h$.
a) berechnen sie as volumen der kugelkappe
b) für welche höhe [mm] $H_{0}$ [/mm] erhällt man ein viertel des kugelvolumens
c) berechnen sie die koordinaten des geom. schwerpunktes der kugelkappe |
hallo zusammen...
also mein problem fängt leider schon bei a an...
hab zuerst [mm] $R^2=x^2+y^2+z^2$ [/mm] transformiert $(x,y,z) [mm] \to (r,\varphi,\phi)$ [/mm] und erhalte als volumenelement [mm] $r^2sin(\phi)$. [/mm] soweit so gut?!
somit das integral aufgestellt
[mm] $V_{Ks}=\integral_{H}^{R} [/mm] r^2dr [mm] \integral_{0}^{2\pi} d\varphi \integral_{0}^{\pi} sin(\phi) d\phi$ [/mm]
aber an dieser stelle muß was mit meinen grenzen nicht stimmen![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") , denn ich komme nicht auf die gleichung laut formelsammlung...
wäre schön, wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte...![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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Wenn du dir deine Grenzen mal genau anschaust, wirst du feststellen, dass du in den inneren Integralen über die gesamte Kugeloberfläche der Einheitskugel integrierst und dann über den Radius. Der Effekt ist, dass du jetzt das Volumen der äußeren Kugelschale mit der Dicke (R-H) berechnest.
Es geht aber auch einfacher, wenn man sich überlegt, dass zu jedem Wert zwischen H und R ein Kreis gehört und die Kreise zusammengenommen die Kugelkappe bilden. Die Fläche des jeweiligen Kreises ist leicht zu berechnen, wenn man den Radius kennt. Mit x als Variable ist
[mm]r(x) = R * sin(arccos(\bruch{x}{R}))[/mm]
Mach dir 'ne Skizze, dann wird's klarer.
Noch ein Tipp zur c): Aus Symmetriegründen kannst du davon ausgehen, dass der Schwerpunkt auf der Mittelachse sitzt. Dann sollte es nicht so schwer sein...
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ok...hab mir ma ne skizze gemacht...
dann läuft der radius von $h$ bis $R$ $(h=R-höhe des kugelsegments)$ und [mm] $\phi$ [/mm] von 0 bis [mm] $\phi$ [/mm] wobei
[mm] $\phi=arccos(\bruch{h}{R})$ [/mm] ist somit lautet dann mein integral
[mm] $\integral_{h}^{R} [/mm] r^2dr [mm] \integral_{0}^{2\pi} d\varphi \integral_{0}^{arccos(\bruch{h}{R})}sin(\phi) d\phi$
[/mm]
hmmm...glaub ich habs noch nicht gerafft, da kommt immernoch was falsches raus...was mach ich denn nur falsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok...hab mir ma ne skizze gemacht...
>
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> dann läuft der radius von [mm]h[/mm] bis [mm]R[/mm] [mm](h=R-höhe des kugelsegments)[/mm]
> und [mm]\phi[/mm] von 0 bis [mm]\phi[/mm] wobei
>
> [mm]\phi=arccos(\bruch{h}{R})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] \phi=arccos(\bruch{h}{r})[/mm] [/mm] hängt noch von der Integrationsvariablen r ab.
Viele Grüße
Rainer
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Die einfachste Lösung ist natürlich der Rückgriff auf die Schulmathematik: Du berechnest das Volumen nach der Formel für ![[]](/images/popup.gif) Rotationskörper. Als Funktion nimmst du (hier mal suggestiv mit r bezeichnet)
[mm]r(x)=\wurzel{R^2 - x^2}[/mm]
(Pythagoras lässt grüßen). Das integrierst du von h bis R mit der Volumenformel für Rotationskörper:
[mm]V = \pi * \integral_{h}^{R}{(r(x))^2 dx}[/mm]
Damit solltest du auf das richtige Ergebnis kommen.
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