Volumen der Einheitskugel < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 19.11.2008 | | Autor: | cisina |
Hallo,
ich hätte eine Frage und zwar wie man das Volumen der 3-dimensionalen Einheitskugel mit Hilfe von 3fach Integralen berechnet.
Bei der 2-dimensionalen Einheitskugel haben wir das so gemacht:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{ \wurzel{x^2-1}}{1 dy} dx}
[/mm]
das fand ich auch noch logisch aber wie man es jetzt mit einer Dimension macht kann ich mir nicht vorstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Do 20.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich hätte eine Frage und zwar wie man das Volumen der
> 3-dimensionalen Einheitskugel mit Hilfe von 3fach
> Integralen berechnet.
> Bei der 2-dimensionalen Einheitskugel haben wir das so
> gemacht:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{ \wurzel{x^2-1}}{1 dy} dx}[/mm]
Nicht ganz: es ist:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{ \wurzel{1-x^2}}{1 dy} dx}[/mm]
> das fand ich auch noch logisch aber wie man es jetzt mit
> einer Dimension macht kann ich mir nicht vorstellen?
Dieses Doppelintegral entsteht aus der Bedingung [mm] $0\le x^2+y^2\le [/mm] 1$ für die Punkte in der 2-dimensionalen Einheitskugel, indem du eine Koordinate (x) von -1 bis 1 laufen lässt, und für die andere
[mm] y^2\le 1-x^2 \implies -\wurzel{1-x^2}\le y \le +\wurzel{1-x^2} [/mm]
bekommst.
In 3 Dimensionen ist die Ungleichung [mm] $0\le x^2+y^2+z^2\le [/mm] 1$. Auch hier fängst du mit einer Koordinate an, zum Beispiel x: [mm] $-1\le [/mm] x [mm] \le+1$. [/mm] Daraus ergibt sich:
[mm] y^2+z^2 \le 1-x^2 [/mm]
Jetzt kannst du entweder das Ergebnis für die 2-dimensionale Kugel verwenden, denn dies ist die Ungleichung für einen Kreis vom Radius [mm] $\sqrt{1-x^2}$, [/mm] dessen 2-dimensionales Volumen also [mm] $\pi(1-x^2)$ [/mm] ist. Insgesamt ergibt sich:
[mm] \integral_{-1}^{1} \pi(1-x^2) dx = \bruch{4}{3}\pi [/mm].
Oder du kannst die Integral explizit hinschreiben, indem du die zweite Koordinate (y) wählst, mit
[mm] y^2\le 1-x^2 \implies -\wurzel{1-x^2}\le y \le +\wurzel{1-x^2} [/mm]
Zuletzt bleict die z-Koordinate mit
[mm] z^2 \le 1-x^2-y^2 \implies -\wurzel{1-x^2-y^2} \le z \le +\wurzel{1-x^2-y^2} [/mm]
Insgesamt hast du das Dreifachintegral
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{ \wurzel{1-x^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{+\wurzel{1-x^2-y^2}}{{1 dz}dy} dx}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
