Volumen Tetraeder und Grenzen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 07.01.2014 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Eine Ebene E, die [mm] \IR^{3} [/mm] durch die Gleichung x + 2y + z = 1 gegeben ist, schließt für x [mm] \ge [/mm] 0; y [mm] \ge [/mm] 0; z [mm] \ge [/mm] 0 mit den drei Koordinatenebenen ein Tetraeder T ein. Berechnen Sie das Integral:
[mm] \integral_{T}^{}{xe^{z} dV(x,y,z)} [/mm] |
Guten Abend liebe Gemeinde,
ich versuche mich gerade an der Aufgabe und scheitere jedoch an den Grenzen. Ich habe in der Musterlösung nachgeschaut und da steht folgendes:
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1-x-2y
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1
Ich weiß das beim ersten die Gleichung einfach umgestellt wurde, beim zweiten z=0 betrachtet wurde und beim letzten z,y=0. Ich weiß auch dass dies gemacht wurde, da das äußerste Integral über x geht und dieser Konstant sein muss. Zusätzlich weiß ich das die Grenze eines Integrals nicht vom inneren aber vom äußeren abhängen darf.
Jedoch weiß ich nicht wieso ausgerechnet z=0?
Ich bitte um Hilfe
Vielen Dank im voraus
Fatih
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> Eine Ebene E, die [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Gleichung x + 2y + z =
> 1 gegeben ist, schließt für x [mm]\ge[/mm] 0; y [mm]\ge[/mm] 0; z [mm]\ge[/mm] 0
> mit den drei Koordinatenebenen ein Tetraeder T ein.
> Berechnen Sie das Integral:
>
> [mm]\integral_{T}^{}{xe^{z} dV(x,y,z)}[/mm]
> Guten Abend liebe
> Gemeinde,
>
> ich versuche mich gerade an der Aufgabe und scheitere
> jedoch an den Grenzen. Ich habe in der Musterlösung
> nachgeschaut und da steht folgendes:
>
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1-x-2y
>
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1
>
> Ich weiß das beim ersten die Gleichung einfach umgestellt
> wurde, beim zweiten z=0 betrachtet wurde und beim letzten
> z,y=0. Ich weiß auch dass dies gemacht wurde, da das
> äußerste Integral über x geht und dieser Konstant sein
> muss. Zusätzlich weiß ich das die Grenze eines Integrals
> nicht vom inneren aber vom äußeren abhängen darf.
>
> Jedoch weiß ich nicht wieso ausgerechnet z=0?
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> Vielen Dank im voraus
> Fatih
>
>
Sieh dir in deinem Skript nocheinmal das Kapitel über projezierbare Mengen an.
Wir gehen von der vorgegebenen Menge aus:
[mm]M_3=\{(x,y,z)^T|0\le z\le 1-x-2y, (x,y)\in M_2\}[/mm]
Nun projezierst du dein Konstrukt auf die x-y und schließlich auf die x Ebene:
[mm]M_2=\{(x,y)^T |0\le 1-x-2y\}=\{(x,y)^T |y \leq \frac{1-x}{2}, 0\le x\le 1\}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 07.01.2014 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
okay das mit Grenzen habe ich nun verstanden, danke für das Stichwort :)
Nun noch folgende Frage bei der Berechnung:
[mm] \integral_{0}^{1-2y-z}{xe^{z}dx}
[/mm]
Ich bekomme da folgendes heraus:
[mm] \bruch{(1-2y-z)^2 * e^{z}}{2}
[/mm]
Wolfram Alpha jedoch hat:
[mm] \bruch{(-1+2y+z)^2 * e^{z}}{2}
[/mm]
heraus. Wieso? (Vielleicht habe ich den Faden etwas verloren)
Danke im voraus
MFG
Fatih
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Hallo Fatih,
> Nun noch folgende Frage bei der Berechnung:
>
> [mm]\integral_{0}^{1-2y-z}{xe^{z}dx}[/mm]
>
> Ich bekomme da folgendes heraus:
>
> [mm]\bruch{(1-2y-z)^2 * e^{z}}{2}[/mm]
>
> Wolfram Alpha jedoch hat:
>
> [mm]\bruch{(-1+2y+z)^2 * e^{z}}{2}[/mm]
>
> heraus. Wieso? (Vielleicht habe ich den Faden etwas
> verloren)
Wieso nicht? Das ist doch genau das gleiche - beachte das Quadrat an der Klammer...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Di 07.01.2014 | | Autor: | Fatih17 |
Tatsache, vielen Dank!
MFG
Fatih
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Fatih17 |
Guten Abend nochmal liebe Gemeinde,
beim lösen des Integrals hänge ich leider an einer Stelle fest.
Da es ewig dauern würde, alles hier zu schreiben, da das Integral ziemlich groß wird, habe ich ein Bild gemacht und es eingefügt. Das richtige Ergebnis steht auch dabei. Leider habe ich an Position III eine negative 6. Wäre diese Positiv, würde ich auf das richtige Ergebnis kommen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
MFG
Fatih
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Fatih17,
> Guten Abend nochmal liebe Gemeinde,
>
> beim lösen des Integrals hänge ich leider an einer Stelle
> fest.
>
> Da es ewig dauern würde, alles hier zu schreiben, da das
> Integral ziemlich groß wird, habe ich ein Bild gemacht und
> es eingefügt. Das richtige Ergebnis steht auch dabei.
> Leider habe ich an Position III eine negative 6. Wäre
> diese Positiv, würde ich auf das richtige Ergebnis
> kommen.
>
> Datei-Anhang
>
Die Werte stimmen schon.
Nur musst Du rechnen: [mm]\bruch{1}{12}*\left( I-II\blue{+}III-IV \ \right)[/mm]
Da hat sich dann bei der Berechnung des Integrals
ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
> MFG
> Fatih
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
Tatsache! Das habe ich komplett übersehen! Vielen, vielen Dank!
MFG
Fatih
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![[a]](uploads/forum/01002041/forum-i01002041-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
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