Volumen Pyramide < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Sa 08.01.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo, wiedereinmal habe ich eine Aufgabe, wo ich mir mit meiner Antwort nicht sicher bin.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten
A(0;−1; 1), B(5; 1; 1), C(2; 4; 1) und D(1; 1; 5).
Mein Ansatz:
um die Länge einer Seite dieses Tetraeder (Pyramide) zu erhalten subtrahiere ich den Vektor B-A und erhalte eine Länge der Seite von 7 LE.
durch die Volumenformel V=(a³/12)* [mm] \wurzel{2} [/mm] erhalte ich ein Gesamtvolumen von 40,43 VE.
bei anderen Lösungsvorschlägen, bitte antworten
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Ich weiß jetzt grad nicht sicher, wofür deine Formel gilt... kann es sein, dass man sie nur auf gleichseitige Tertraeder anwenden kann?
Die Grundfläche besteht ja aus dem Dreieck ABC, und die Spitze ist D.
Die Fläche des Grunddreiecks bekommst du z.B. über's Kreuzprodukt. Nimmst du z.B. [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm], dann bekommt du den Flächeninhalt über [mm]A=\bruch{1}{2} \cdot ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||[/mm].
Die Punkte A, B und C liegen alle auf [mm]x_3-[/mm]Koordinate 1, die Spitze auf [mm]x_3-[/mm]Koordinate 5. Somit ist die Höhe der Pyramide 4.
Jetzt noch die Volumenformel [mm]V=\bruch{1}{3} \cdot G \cdot h[/mm] (G: Grundfläche), und fertig.
Ach ja, zu deiner Frage: [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{5 \\ 2 \\ 0}[/mm]. Die Länge dieses Vektors ist nicht 7, sondern [mm]\wurzel{5^2+2^2+0^2}=\wurzel{29}[/mm].
Nachträglich eingefügt: bis grad eben war der obige Vektor falsch angegeben, die letzte Komponente hatte ich im Vektor falsch, und in der Längenberechnung war's richtig. Jetzt sollte alles stimmen (Dank an Loddar).
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