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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Die Grundfläche eines Körpers wird durch die Parabel [mm] $p_{1}= [/mm] y = [mm] x^{2}$ [/mm] und die Gerade $g: y = 4$ begrenzt. Der "First" liegt auf der Parabel [mm] $p_{2}:z=3\sqrt{y}$. [/mm] Die "Mantelfläche" besteht aus zur xz-Ebenen parallelen Strecken. Berechne das Volumen des Körpers. |
Guten Abend,
Grundfläche:
[mm] $\integral_{0}^{2}{4 dx}- \integral_{0}^{2}{x^{2} dx}$ [/mm] ergibt [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] der Grundfläche. Insgesamte Grundfläche also: [mm] $10\frac{2}{3}$
[/mm]
doch wie weiter?
so sieht das ganze aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Die Grundfläche eines Körpers wird durch die Parabel
> [mm]p_{1}= y = x^{2}[/mm] und die Gerade [mm]g: y = 4[/mm] begrenzt. Der
> "First" liegt auf der Parabel [mm]p_{2}:z=3\sqrt{y}[/mm]. Die
> "Mantelfläche" besteht aus zur xz-Ebenen parallelen
> Strecken. Berechne das Volumen des Körpers.
> Guten Abend,
>
> Grundfläche:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{4 dx}- \integral_{0}^{2}{x^{2} dx}[/mm] ergibt
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] der Grundfläche. Insgesamte Grundfläche also:
> [mm]10\frac{2}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(vielleicht braucht man aber diese Grundfläche gar nicht ...)
> doch wie weiter?
> so sieht das ganze aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo kushkush,
die Skizze ist hilfreich. An ihr kann man sehen, wie
die Volumenintegration wohl am einfachsten geht: Man
kann den Körper in eine Schar von dünnen dreieckigen
Platten zerschneiden, die alle parallel zur x-z-Ebene
sind. Das Schnittdreieck in der Ebene y=t (mit [mm] 0
hat zwei Eckpunkte [mm] A_t [/mm] und [mm] B_t [/mm] auf der Parabel [mm] p_1
[/mm]
und die dritte Ecke [mm] C_t [/mm] auf der "Firstparabel" [mm] p_2 [/mm] .
Wenn wir den Flächeninhalt dieses Dreiecks mit [mm] F_t
[/mm]
bezeichnen, ist das Volumen des zeltartigen Körpers
$\ V\ =\ [mm] \integral_{t=0}^{4}F_t*dt$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi und danke Al-Chwarizmi,
deine Idee leuchtet mir ein, ich weiss allerdings nicht wie ich die allgemeine Gleichung des Flächenstücks beschreiben soll, da ja xyz koordinaten gefragt sind...
Etwa so [mm] $3\sqrt{y}*x^2$ [/mm] ?
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> Hi und danke Al-Chwarizmi,
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> deine Idee leuchtet mir ein, ich weiss allerdings nicht wie
> ich die allgemeine Gleichung des Flächenstücks
> beschreiben soll, da ja xyz koordinaten gefragt sind...
>
> Etwa so [mm]3\sqrt{y}*x^2[/mm] ?
Hallo,
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
$\ [mm] F_t=(halbe\ Grundlinie)*Hoehe=x*z=\sqrt{y}*3\sqrt{y}=3\,y=3\,t$
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Der Flächeninhalt wäre demnach 24,
dankeschön Al-Chwarizmi!
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> Der Flächeninhalt wäre demnach 24,
Du meinst Rauminhalt (des Körpers) !
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