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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 26.10.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | Das Volumen folgenden Körpers soll berechnet werden:
[mm] $$M=\left\{(x,y,z) \in \IR³ : x²+y²+z²\le2 \text{ und } z\ge x²+y²\right\}$$
[/mm]
Der Schnitt von M mit der (x,z)-Ebene soll skiziert werden und eine Parametrisierung in Zylinderkoordinaten soll verwendet werden
[mm] \vektor{\rho \\ \phi \\ z}=\vektor{\rho* \cos \phi \\ \rho * \sin \phi \\ z} [/mm] |
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter.
Zur Parametrisierung erstmal:
[mm] x²+y²+z²\le2 [/mm] würde so aussehen: [mm] (\rho *\cos \phi)^2+(\rho *\sin \phi)^2+z²=2
[/mm]
Was allerdings [mm] z\ge [/mm] x²+y² soll weiß ich nicht. M ist ja ein Körper, deshalb irritiert mich wie ich die zwei formeln für den Körper zusammenbringen soll.
Kann mir Jemand mit der Parametrisierung helfen?
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Hallo JMW,
> Das Volumen folgenden Körpers soll berechnet werden:
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> [mm] $M=\{(x,y,z) \in \IR³ : x²+y²+z²\le2 \ und \ z\ge x²+y²\}$
[/mm]
>
> Der Schnitt von M mit der (x,z)-Ebene soll skiziert werden
> und eine Parametrisierung in Zylinderkoordinaten soll
> verwendet werden
>
> [mm]\vektor{\rho \\ \phi \\ z}=\vektor{\rho cos \phi \\ \rho sin \phi \\ z}[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter.
>
> Zur Parametrisierung erstmal:
>
> [mm]x²+y²+z²\le2[/mm] würde so aussehen: [mm](\rho[/mm] cos [mm]\phi)^2[/mm] + [mm](\rho[/mm]
> sin [mm]\phi)^2+z²=2[/mm]
>
> Was allerdings [mm]z\ge[/mm] x²+y² soll weiß ich nicht. M ist ja ein
> Körper, deshalb irritiert mich wie ich die zwei formeln für
> den Körper zusammenbringen soll.
Die Gleichungen
[mm]x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 2[/mm]
[mm]x^{2}+y^{2} \le z[/mm]
dienen zur Eingrenzung der z-Werte.
> Kann mir Jemand mit der Parametrisierung helfen?
Siehe dazu Volumen, Zylinderkoordinaten
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht hilft es dir ja, die dinger vorzustellen. dazu betrachte die Flaechen , d, h, statt der ungleichungen Gleichungen.
Das erste erkennst du hoffentlich als Kugeloberflaeche.
das zweite: betrachte Ebenen mit z=0, z=0,25. z=1 usw. welchen Koerper siehst du jetzt? M ist innerhalb der Kugel, und ausserhalb des anderen Koerpers. (d.h. die kugel hat eine sorte Loch rausgebohrt.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 26.10.2008 | | Autor: | JMW |
Vielen Dank schon mal euch beiden. Also ist ein Rotationsparaboloid aus der Kugel rausgeschnitten?
Woher weiß ich, daß er rausgeschnitten ist und wie fahre ich dann fort mit der Parametrisierung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die werte
[mm] x^2+y^2
Wie du das volumen ausrechnest? indem du ueber die 3 koordinaten integrierst, hier also [mm] \phi, \rho, [/mm] z.
Dazu sieh dir an, wie man mit den Koorsinaten stt mit dx,dy,dz integriert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | JMW |
Mein Problem ist in erster Linie erstmal die Zylinderkoordinaten. Tut mir Leid das ich mich etwas dumm anstelle, aber wie komme ich auf die Zylinderkoordinaten?
Mein Kollege hat für den Kreis geschrieben, daß:
- [mm] \wurzel[]{1-x²} \le [/mm] r [mm] \le \wurzel[]{1-x²}
[/mm]
0 [mm] \le \phi \le 2\pi
[/mm]
- [mm] \wurzel[]{2} \le [/mm] z [mm] \le \wurzel[]{2}
[/mm]
z ist klar [mm] \pm [/mm] der Radius.
[mm] \phi [/mm] ist nur klar, weil es so im Mathebuch steht aber selbst würde ich nicht drauf kommen
und r ist mir überhaupt nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auf der Erde geben wir doch auch Positionen in Grad an: laengengrad und Breitengrad. (Radius ist fest.
Wenn du einen Zylinder ansiehst. bzw die punkte innerhalb eines Zylinders, der vor dir steht:
klar, du gibst an wie hoch der Punkt ist, also z und man muss festlegen wo z=0 ist, ebenso klar, wie nah er an der Achse ist, also r
jetzt noch "wie weit rum" er ist. dazu legst du weg, wo du anfaengst, wenn du in nem koordinatensystem denkst sagst du auf der x-achse ist der "Anfang" also [mm] \phi=0
[/mm]
dann gibst du an [mm] 45^o [/mm] oder [mm] \pi/4 [/mm] rum. (vereinbarung ist, man zaehlt Winkel gegen den Uhrzeigersinn positiv.
wenn du einmal rum bist, ist der Winkel also [mm] 360^o [/mm] oder [mm] 2\pi.
[/mm]
also ist es leicht, den punkt r=3, [mm] \phi=\pi/3 [/mm] und z=2,5 zu finden.
er liegt auf dem Zylinder mit Radius 3, 2,5 hoch und [mm] 60^o [/mm] im uhrzeigersinn vom der x-achse "gedreht"
Wenn du alle punkte in der Höhe und dem Radius erreichen willst laesst du r und z fest und gehst mit dem winkel [mm] \phi [/mm] eimal rum, indem er von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laeuft.
Damit sollten die Zylinderkoordinaten anschaulich klar sein.
Du willst ja in Zylinderkoordinaten rechnen, da macht die Gleichung deines kollegen kenen Sinn. Wenn du nur die Kugel haettest waere ja r von der Hoehe abhaengig also von z
genauso, wenn du nur das paraboloid rechnest , bei dem wuerde gelten r von 0 bis [mm] \wurzel{z}
[/mm]
jetzt brauchst du aber das Volumen der Kugel ausserhalb des paraboloieds.
zeichne das mal als Schnitt in der x-z Ebene (kreis Radius [mm] \wurzel{2} [/mm] mit Parabel [mm] z=x^2) [/mm] ein und ueberleg, von wo bis wo in einer Hoehe h=z der Radius laeuft.
Du kannst dir die Aufgabe leichter machen, indem du das Volumen des lochs ausrechnest und von der halbkugel abziehst. ob ihr das duerft, weiss ich natuerlich nicht.
dann faengt r immer bei 0 an und du musst nur noch ausrechnen bis wohin in der hoehe h.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 27.10.2008 | | Autor: | JMW |
Ok, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!!
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