Vollständigkeitsaxiom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 So 28.12.2008 | | Autor: | Walodja1987 |
Hallo liebe Mathehelfer,
sitze grad an Analysis dran und versuche gerade einen Beweis in Verbindung mit dem Vollständigkeitsaxiom zu verstehen. Mir ist aber völlig schleierhaft, woher er bestimmte Sachen nimmt.
Dies ist eine Bermerkung zum Vollständigkeitsaxiom mit anschließendem Beweis.
Es gibt ein x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x^{2} [/mm] = 2.
Denn: Sei S = [mm] \{x \in [0, \infty) : x^{2} \le 2 \}. [/mm] Dann ist [mm] S\not=\emptyset [/mm] und nach oben beschränkt, z.B. durch 2 [x>2 [mm] \Rightarrow x^{2}>4 \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] S]
Sei a:=supS
Dann ist [mm] a^{2}=2
[/mm]
(i) Angenommen [mm] a^{2}<2. [/mm] Dann ist [mm] 2-a^{2}>0. [/mm] Wähle n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{2a+1}{2-a^{2}} [/mm] < n
[mm] (a+\bruch{1}{n})^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2a}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} \le a^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2a+1}{n} [/mm] < [mm] a^{2} [/mm] + 2 - [mm] a^{2} [/mm] = 2.
Also ist a + [mm] \bruch{1}{n} \in [/mm] S, d.h. a war keine obere Schranke
[mm] \to [/mm] Widerspruch zu a obere Schranke.
(ii) Angenommen [mm] a^{2} [/mm] > 2 . Wähle
n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{2a}{a^{2}-2} [/mm] < n
Dann ist [mm] (a-\bruch{1}{n})^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] - [mm] \bruch{2a}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] > [mm] a^{2} [/mm] - [mm] \bruch{2a}{n} [/mm] > 2,
d.h. a ist kein Supremum.
Im Beweis haben wir gesehen: Sei a = supS. Dann gilt:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] S: [mm] a-\varepsilon [/mm] < x [mm] \le [/mm] a.
Das wars. Wäre über eine ausführliche Erklärung sehr dankbar.
Gruß Waldemar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 So 28.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du musst schon dazu schreiben an welchen Stellen genau es mit dem Verständnis hakt.
Den kompletten Beweis einfach so dir vorkauen wird wohl kaum einer machen.
Würde auch nicht viel bringen, da die Wahrscheinlichkeit groß ist, dass man gerade die Sachen, die du nicht verstanden hast, nicht genügend erklärt, da man ja -alles- erklären soll, was viel zu viel ist.
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