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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 So 30.10.2005 | | Autor: | GetBack |
Sorry Leute, aber ich bins schon wieder. Hab da noch ein Problem bei dem ihr mir helfen könntet. Also die Aufgabe lautet:
Sei [mm] X [/mm] der Vektorraum aller Lipschitz-stetigen Funktionen [mm] f:[0,1] \rightarrow \mathhbb{R} [/mm]. Zu [mm] f \in X [/mm] setzen wir [mm] \|f\|_{Lip}:=\left| f(0) \right| + \sup_{s \not= t} \left| {f(s)-f(t)} \over {s-t} \right| [/mm].
Untersuchen Sie den normierten Raum [mm] [X, {\|*\|}_{Lip}] [/mm] auf Vollständigkeit. Bestätigen Sie zunächst, daß für alle [mm] f \in X [/mm] gilt: [mm] \|f\|_{\infty} \le \|f\|_{Lip} [/mm] ([mm] \|f\|_{\infty} [/mm] ist die Supremumsnorm).
Ich weiß, dass Lipschitz-stetig folgendermaßen definiert wird: [mm] \forall x,y [/mm] aus dem Defintionsbereich von [mm] f [/mm] gilt: [mm] \left| f(x)-f(y) \right| \le L * \left| x-y\right| [/mm].
Vollständigkeit bedeutet, dass jede Cauchyfolge gegen ein Element des Raumes konvergiert.
Aber ich hab leider keine Idee, wie ich die Vollständigkeit hier zeigen soll.
Danke schonmal für eure Hilfe.
Viele Grüße GetBack
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Getback,
mir stellt sich ein wenig die frage, was ihr alles voraussetzen könnt. Zb die Vollständigkeit des Lipschitz-Raumes [mm] $C^{0,1}$ [/mm] bezüglich der standard-Norm, bei der statt $f(0)$ die supremums-norm [mm] ($C^0$-Norm) [/mm] der funktion auftaucht.
Dann reicht es nämlich tatsächlich, die im tip angegebene abschätzung zu zeigen, weil damit die äquivalenz der normen gezeigt ist und damit auch die vollständigkeit bezüglich der non-standard-Norm.
Die vollständigkeit bezüglich der üblichen norm wird in vielen büchern bewiesen, zB. Alt:Lineare Funktionalanalysis.
Viele Grüße
Matthias
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