Vollständigkeit eines Raums < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 21.05.2015 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Der Unterraum [mm] X:=\{(x_j)\in \omega | \{(x_{j}) | j \in \IN\} \mbox{ ist endlich} \} [/mm] von l∞ sei mit der Supremumnorm [mm] \parallel \parallel [/mm] ∞ versehen. ( Dass X tatsächlich ein Unterraum von l∞ ist, brauchen Sie nicht zu zeigen). Beweisen Sie, dass (X, [mm] \parallel \parallel [/mm] ∞) nicht vollständig ist, indem Sie die Folge [mm] f=(f_{k})_{k\in \IN} [/mm] mit
[mm] f_{k}= (f_{k}(j))_{j\in \IN} [/mm] und [mm] f_{k}(j) :=\begin{cases} 1/j, & \mbox{für } j\le k \ \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
betrachten. |
Ich muss zugeben, ich tue mich aktuell insgesamt recht schwer damit, das Konzept der Funktionenräume und der Normierung zu verstehen...
Daher fange ich einmal von vorn an, wie ich die Aufgabe interpretiere und man möge mich korrigieren ;)
[mm] x_{j} [/mm] gehört in den Raum aller reellen Folgen und da j endlich ist sind es die Folgen mit endlich vielen Gliedern, und zwar hier j Gliedern. Daher sind alle diese Folge auch beschränkt und gehören zu l∞.
Sei nun ein j beliebig, dann wäre beispielsweise
[mm] f_{3}(j)=(1;1/2;1/3;0;0...0)
[/mm]
[mm] f_{6}(j)=(1;1/2;1/3;1/4;1/5;/1/6;0;0...0).
[/mm]
Damit X ein vollständiger Raum ist, muss jede Cauchy-Folge konvergent sein. Also muss ich zuerst zeigen, dass die gegebene Folge eine Cauchyfolge ist.
Sei [mm] k\ge n_{0}, [/mm] dann ist [mm] f_{k}(j)-f_{n_{0}}(j) [/mm] = [mm] (0;0;...1/j_{n_{0}+1};...1/j_{k};0;0...)
[/mm]
und für [mm] \parallel f_{k}(j)-f_{n_{0}}(j)\parallel =1/j_{(n_{0}+1)} [/mm] und so kann ich zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_{0} [/mm] entsprechend groß wählen und das Cauchykriterium ist erfüllt.
Ist das bis hierhin richtig/nachvollziehbar?
Nun müsste ich zeigen dass die Folge [mm] f_{k}(j) [/mm] nicht konvergent ist. Angenommen , sie wäre konvergent gegen eine Folge g(j). Dann müsste gelten:
[mm] \parallel f_{k}(j) [/mm] - [mm] g(j)\parallel [/mm] = 0 für k gegen unendlich.
Für k gegen unendlich gilt, da j ja endlich, dass f(j) =1/j. Somit konvergiert für mein Verständnis die Folge ja tatsächlich gegen g(j)=1/j für jedes beliebige j. Und ich hätte die Aufgabenstellung widerlegt...
Wo sind meine Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Der Unterraum [mm]X:=\{(x_j)\in \omega | \{(x_{j}) | j \in \IN\} \mbox{ ist endlich} \}[/mm]
> von l∞ sei mit der Supremumnorm [mm]\parallel \parallel[/mm] ∞
> versehen. ( Dass X tatsächlich ein Unterraum von l∞ ist,
> brauchen Sie nicht zu zeigen). Beweisen Sie, dass (X,
> [mm]\parallel \parallel[/mm] ∞) nicht vollständig ist, indem Sie
> die Folge [mm]f=(f_{k})_{k\in \IN}[/mm] mit
>
> [mm]f_{k}= (f_{k}(j))_{j\in \IN}[/mm] und [mm]f_{k}(j) :=\begin{cases} 1/j, & \mbox{für } j\le k \ \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> betrachten.
> Ich muss zugeben, ich tue mich aktuell insgesamt recht
> schwer damit, das Konzept der Funktionenräume und der
> Normierung zu verstehen...
>
> Daher fange ich einmal von vorn an, wie ich die Aufgabe
> interpretiere und man möge mich korrigieren ;)
>
> [mm]x_{j}[/mm] gehört in den Raum aller reellen Folgen und da j
> endlich ist sind es die Folgen mit endlich vielen Gliedern,
> und zwar hier j Gliedern. Daher sind alle diese Folge auch
> beschränkt und gehören zu l∞.
>
> Sei nun ein j beliebig, dann wäre beispielsweise
>
> [mm]f_{3}(j)=(1;1/2;1/3;0;0...0)[/mm]
> [mm]f_{6}(j)=(1;1/2;1/3;1/4;1/5;/1/6;0;0...0).[/mm]
>
> Damit X ein vollständiger Raum ist, muss jede Cauchy-Folge
> konvergent sein. Also muss ich zuerst zeigen, dass die
> gegebene Folge eine Cauchyfolge ist.
>
> Sei [mm]k\ge n_{0},[/mm] dann ist [mm]f_{k}(j)-f_{n_{0}}(j)[/mm] =
> [mm](0;0;...1/j_{n_{0}+1};...1/j_{k};0;0...)[/mm]
> und für [mm]\parallel f_{k}(j)-f_{n_{0}}(j)\parallel =1/j_{(n_{0}+1)}[/mm]
> und so kann ich zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]n_{0}[/mm] entsprechend
> groß wählen und das Cauchykriterium ist erfüllt.
>
> Ist das bis hierhin richtig/nachvollziehbar?
>
> Nun müsste ich zeigen dass die Folge [mm]f_{k}(j)[/mm] nicht
> konvergent ist. Angenommen , sie wäre konvergent gegen
> eine Folge g(j). Dann müsste gelten:
>
> [mm]\parallel f_{k}(j)[/mm] - [mm]g(j)\parallel[/mm] = 0 für k gegen
> unendlich.
> Für k gegen unendlich gilt, da j ja endlich, dass f(j)
> =1/j. Somit konvergiert für mein Verständnis die Folge ja
> tatsächlich gegen g(j)=1/j für jedes beliebige j. Und ich
> hätte die Aufgabenstellung widerlegt...
Nein, das hast Du nicht, denn Folge g(j)=1/j gehört nicht zu X !
FRED
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> Wo sind meine Fehler?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Stala |
Das heißt bis zu diesem Punkt ist meine Argumentation also völlig richtig?
Ich verstehe jetzt nur nicht, warum die Folge
[mm] g_{j}=1/j [/mm]
nicht in den Raum X gehört, wenn ich einfach definiere, dass j endlich ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt bis zu diesem Punkt ist meine Argumentation also
> völlig richtig?
>
> Ich verstehe jetzt nur nicht, warum die Folge
>
> [mm]g_{j}=1/j[/mm]
>
> nicht in den Raum X gehört, wenn ich einfach definiere,
> dass j endlich ist?
Oben habe ich mich schon gefragt, was Du mit "j ist endlich" meinst. j ist eine natürliche Zahl. Punkt.
Ich glaube, dass Du den Raum X nicht richtig verstanden hast oder die Folge [mm] (g_j).
[/mm]
Eine Folge [mm] (x_j) [/mm] gehört zu X [mm] \gdw [/mm] es ex. ein k [mm] \in \IN [/mm] (abhängig von [mm] (x_j)) [/mm] mit:
[mm] x_j=0 [/mm] für alle j>k.
Ist also [mm] (x_j) \in [/mm] X, so sind ab einem Index alle Folgenglieder =0.
Nun schauen wir uns obige Folge [mm] (g_j) [/mm] an: es ist
[mm] $(g_j)=(1, \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, [/mm] .....)$
Jedes(!) Folgenglied von [mm] (g_j) [/mm] ist [mm] \ne [/mm] 0. Damit ist [mm] (g_j) \notin [/mm] X.
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Stala |
Ah, jetzt verstehe ich wie das gemeint ist... ich hatte tatsächlich den Raum X nicht verstanden. So macht es mehr Sinn.
Danke dir!!
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