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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:40 Di 26.04.2005 | | Autor: | Lara |
hi leute
ich habe ein problem. ich kann diese Aufgabe nicht lösen. komm einfach nicht vorran ich weiß niht wie ich es angehen soll. bin wegen analysis fertih mit den nerven
Aufgabe MIt I werde hier das Interval [-1, 1] bezeichnet, mit C (I) der Vektorraum der stetigen Funktion auf I. Durch die Supremumsnorm
[mm] \left|| \right||_infty [/mm] der gleichmäßige Konvergenz wird C(I) zu einen normierten Vektorraum. Dieser Vektorraum ist vollständig, also ein Banach - Raum. Bekannt ist, dass durch
[mm] \left|| f \right||_1= \integral_{-1}^{1} \left|{f(t)}\right|{dt} [/mm]
eine weitere Norm [mm] \left|| f \right||_1 [/mm] auf C(I) definiert wird: Konvergenz im Mittel. Ist (C(I), [mm] \left|| f \right||_1) [/mm] auch vollständig? Hinweis : Zeigen sie zunächst, dass durch
[mm] f_n(t)= \begin{cases} 0, & \mbox{t } \in \mbox{ [-1,0]} \\ \middle{cases} nt, & \mbox{t} \in \mbox{[0,1/n]} \\1, & \mbox{t } \in \mbox{ [1/n,1]} \end{cases}
[/mm]
gegebene Folge [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchy Folge ist. Führen sie dann die Annahme dass es eine stetige Funktion f gäbe, gegen die [mm] (f_n) [/mm] im Mittel konvergierte, zu einem widerspruch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Lara,
leider schreibst du nicht, ob du weißt, was Vollständigkeit ist und warum du so wie in der Aufgabe beschrieben vorgehen mußt.
Ich versuche zuerst, dir die Aufgabe klarer zu machen:
Was sollst du eigentlich zeigen? Du sollst zeigen, dass der Raum $C(I)$ mit der 1-Norm nicht vollständig ist, also $(C(I), [mm] \left|| f \right||_1)$ [/mm] kein Banachraum.
Was bedeutet Vollständigkeit? Das bedeutet, dass jede Cauchyfolge von Elementen von $C(I)$, also eine Cauchyfolge von stetigen Funktionen, gegen ein Element aus $C(I)$, also gegen eine stetige Funktion konvergiert.
Um eine Cauchyfolge zu haben, braucht man einen Abstandsbegriff, da ja die Glieder der Folge sich "unendlich nah" annähern. Aber was ist der Abstand von zwei Funktionen? Das kannst du durch die Norm berechnen!
Also: Für zwei Funktionen $f, g [mm] \in [/mm] C(I)$ ist [mm] $\left|| f - g \right||_1$ [/mm] gerade der Abstand bzgl. der 1-Norm!
Jetzt ist aber der Raum mit der 1-Norm nicht vollständig. Du mußt also Folge stetiger Funktionen finden, die eine Cauchfolge ist, aber nicht gegen eine stetige Funktion konvergiert (jeweils bzgl. der 1-Norm!).
Hier wurde euch eine Hilfe gegeben. Ihr sollt die Funktionenfolge
[mm]f_n(t)= \begin{cases} 0, & \mbox{t } \in \mbox{ [-1,0]} \\ \middle nt, & \mbox{t} \in \mbox{[0,1/n]} \\1, & \mbox{t } \in \mbox{ [1/n,1]} \end{cases}[/mm]
betrachten.
Warum?
Nun ja, [mm] $f_n(t)$ [/mm] ist eine Folge stetiger Funktionen (das kannst du ganz leicht nachprüfen), also [mm] $f_n \in [/mm] C(I) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Weiter ist [mm] $f_n$ [/mm] eine Cauchfolge, und das mußt du im ersten Schritt zeigen.
Nun konvergiert diese Folge aber eben gerade nicht gegen eine stetige Funktion. Das ist der zweite Schritt des Beweises.
Was hast du nun gezeigt? Du hast eine Cauchfolge stetiger Funktionen gefunden, die bzgl. der 1-Norm nicht gegen eine stetige Funktion konvergiert, der Raum ist also nicht vollständig.
Versuchen wir es also:
Schritt 1:
Zeige, dass [mm] $f_n$ [/mm] eine Cauchfolge ist, d.h.
[mm]\left|| f_n - f_m \right||_1= \integral_{-1}^{1} \left|{f_n(t) - f_m(t)}\right|{dt}[/mm] konvergiert für $n,m [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$!
Schritt 2:
Annahme: Es gibt eine stetige Funktion $f$, also $f [mm] \in [/mm] C(I)$ so dass [mm] $f_n$ [/mm] in der 1-Norm gegen $f$ konvergiert, d.h.
[mm]\left|| f_n - f \right||_1= \integral_{-1}^{1} \left|{f_n(t) - f(t)}\right|{dt}[/mm] konvergiert für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$! Das sollst du nun zu einem Widerspruch führen!
Ich habe dir bisher nur die Aufgabe "auseinandergenommen" und genauer erklärt. Hilft dir das schon? Versuche es doch einfach mal allein und melde dich wieder mit Zwischenergebnissen oder den Problemen, an denen du hängen bleibst!
Eine Bemerkung noch zur Unendlich-Norm: Eine Funktionenfolge stetiger Funktionen, die bzgl. dieser Norm eine Cauchyfolge ist, konvergiert bezüglich dieser Norm immer gegen eine stetige Funktion. Das bedeutet, dass der Raum mit dieser Norm vollständig ist.
Ich hoffe, ich konnte dir zumindest das Problem klarer machen!
Viele Grüße
Astrid
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