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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Di 28.04.2009 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | | Zeigen Sie das der Folgenraum [mm] l_{1}=\{x=(x_{1},x_{2},...):\summe_{i=1}^{\infty}|x_{i}|<\infty\} [/mm] bezüglich der Norm [mm] ||x||_{l_{1}}=\summe_{i=1}^{\infty}|x_{i}| [/mm] vollständig ist. |
Hallo,
ich habe damit im Moment ein kleines Problem.
Wenn doch schon von vornherein vorgegeben ist, das die Summe der Folgenglieder absolut konvergiert, dann gilt doch die Cauchy Eigenschaft und damit ist jede dieser Folgen eine Cauchy Folge und konvergiert gegen ein x aus dem [mm] l_{1}.
[/mm]
Oder wie soll ich das sonst zeigen. Ich kriege es nicht hin, die formelle Cauchy Eigenschaft auf den Fall hier zu übertragen. Außerdem habe ich ja auch keine Metrik angegeben, in der ich die Cauchy Eigenschaft nachweisen soll sondern nur die zugehörige Norm.
Darf ich deshalb einfach annehmen, das [mm] d(x_{n},x_{m})=||x_{n}-x_{m}||, [/mm] für alle [mm] n,m>N(\varepsilon)? [/mm] Und wie habe ich das [mm] N(\varepsilon) [/mm] überhaupt zu wählen?
Irgendwie kriege ich das nicht so ganz hin.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 28.04.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ist diese Frage denn so schwer das niemand hier eine Idee dazu hat?
Ich hab ja auch schon einen Ansatz dazu geschrieben.
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Deine Elemente sind ja die Folgen [mm]x[/mm] selber. Du mußt jetzt eine Folge dieser Elemente betrachten, also eine Folge von Folgen:
[mm]x^{(1)}, \, x^{(2)}, \, x^{(3)}, \, \ldots[/mm]
Ich habe den Index oben in Klammern angebracht, um keine Konfusion mit dem Koordinatenindex zu erzeugen. Ausgeschrieben heißt das:
[mm]x^{(1)} = \left( x_1^{(1)} , x_2^{(1)} , x_3^{(1)} , \ldots \right)[/mm]
[mm]x^{(2)} = \left( x_1^{(2)} , x_2^{(2)} , x_3^{(2)} , \ldots \right)[/mm]
[mm]x^{(3)} = \left( x_1^{(3)} , x_2^{(3)} , x_3^{(3)} , \ldots \right)[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
Von jedem dieser [mm]x^{(k)}[/mm] weißt du nach Definition des Folgenraumes (ich spare mir die Zusatzmarkierung bei der Bezeichnung der Norm):
[mm]\| x^{(k)} \| = \sum_{i=1}^{\infty} | x_i^{(k)} | \ \ \text{konvergiert}[/mm]
Jetzt soll [mm]x^{(1)}, \, x^{(2)}, \, x^{(3)}, \, \ldots[/mm] eine Cauchy-Folge sein. Das bedeutet, daß
[mm]\| x^{(r)} - x^{(s)} \| = \sum_{i=1}^{\infty} | x_i^{(r)} - x_i^{(s)} |[/mm]
beliebig klein wird, wenn nur [mm]r,s[/mm] beliebig groß werden (und das beantwortet auch deine Frage mit ja: [mm]d \left( u , v \right) = \| u - v \|[/mm]).
1. Warum muß dann auch jede Koordinatenfolge [mm]\left( x_i^{(k)} \right)_{k=1,2,3,\ldots}[/mm] (das ist jetzt eine Folge reeller Zahlen) eine gewöhnliche reelle Cauchy-Folge sein?
2. Die Koordinatenfolge muß dann eine Limes besitzen (Vollständigkeitsaxiom von [mm]\mathbb{R}[/mm]): [mm]y_i = \lim_{k \to \infty} x_i^{(k)}[/mm]
3. Weise nach, daß dann [mm]y = \left( y_1, y_2, y_3, \ldots \right)[/mm] der Grenzwert der Folge [mm]\left( x^{(k)} \right)_{k=1,2,3,\ldots}[/mm] ist (jetzt sind wir wieder in der Metrik [mm]d \left( u , v \right) = \left\| u - v \right\|[/mm] des Folgenraumes).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 28.04.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke für die Antwort. Ich glaub ich weiß schon ein wenig was zu tun ist.
Aber warum muss ich nicht zeigen, das jede Folge aus dem Folgenraum eine Cauchy Folge ist oder warum muss ich den Umweg gehen und zeigen, das die Folge aller Folgen eine Cauchy Folge ist???
Das leuchtet mir noch nicht ganz ein!
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 28.04.2009 | | Autor: | Rino |
Hättest du jetzt nicht den Folgenraum als Raum gegeben, sondern z.B. die reellen Zahlen [mm] $\IR$, [/mm] dann betrachtest du da ja auch Folgen von Elementen aus [mm] $\IR$ [/mm] (deinem Raum).
Genauso ist es dann hier. Du betrachtest Folgen von Elementen aus deinem Raum. In diesem Fall sind die Elemente deines Raums selbst wieder Folgen. Daher betrachtest du Folgen von Folgen.
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