Vollständigk. metrischer Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 01.12.2008 | | Autor: | mathe_FS |
| Aufgabe | | Zeige: Der metrische Raum [mm] (\IC, [/mm] d) mit d(z, z´) = |z-z´| ist vollständig. |
Ich finde leider keinen Ansatz.
Wer kann mir weiterhelfen?
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> Zeige: Der metrische Raum [mm](\IC,[/mm] d) mit d(z, z´) = |z-z´|
> ist vollständig.
> Ich finde leider keinen Ansatz.
Hallo,
was meinst Du damit?
Ein Ansatz wäre sicher, wenn man zunächst mal notieren würde, was mit "ist vollständig" gemeint ist.
Oft geben die Deinitionen ja den Fahrplan fürs weitere Vorgehen vor.
Gruß v. Angela
> Wer kann mir weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mo 01.12.2008 | | Autor: | mathe_FS |
Ja genau das ist mein Problem. In meinen Aufzeichnungen finde ich nichts dazu.
Hättest du eine Idee was gemeint sein könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Ein metrische Raum M heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge in M einen Grenwert in M besitzt.
Das hast Du sicher schon mal gesehen, anderenfalls würde Euch nicht diese Aufgabe gestellt worden sein .
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Was dürft Ihr denn benutzen ? Die Vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] ?
Was weißt Du über konvergenz in [mm] \IC [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 01.12.2008 | | Autor: | mathe_FS |
Ich befürchte wir hatten es nicht, aber in den Übungsaufgaben, sollen wir einen Satz beweisen (es kommt oft in den ÜA was dran, was wir nicht hatten).
Dieser Satz geht so:
Eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] in einem metrischen Raum (X, d) ist eine Cauchy-Folge [mm] \gdw [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert eine natürliche Zahl [mm] n_{0}, [/mm] so daß für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] und für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] d(a_{n+k};a_{n}) [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Meinst du sowas?
Über Konvergenz weiß ich, dass eine Folge konvergent ist, wenn sie beschränkt und monoton ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ich befürchte wir hatten es nicht, aber in den
> Übungsaufgaben, sollen wir einen Satz beweisen (es kommt
> oft in den ÜA was dran, was wir nicht hatten).
> Dieser Satz geht so:
> Eine Folge [mm](a_{n})[/mm] in einem metrischen Raum (X, d) ist
> eine Cauchy-Folge [mm]\gdw[/mm] zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert
> eine natürliche Zahl [mm]n_{0},[/mm] so daß für alle n [mm]\ge n_{0}[/mm] (n
> [mm]\in \IN)[/mm] und für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]d(a_{n+k};a_{n})[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Meinst du sowas?
> Über Konvergenz weiß ich, dass eine Folge konvergent ist,
> wenn sie beschränkt und monoton ist.
Das gilt für Folgen in [mm] \IR. [/mm] in einem allg. metr. Raum ist "Monotonie" sinnlos.
FRED
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> Zeige: Der metrische Raum [mm](\IC,[/mm] d) mit d(z, z´) = |z-z´|
> ist vollständig.
Hallo,
den Informationen, die Du so spärlich tröpfeln läßt, entnehme ich, daß es eine Diskrepanz zwischen dem, was Du nach Besuch der Vorlesung wissen solltest und dem, was bei Dir angekommen ist, gibt.
So etwas kommt temporär vor, bevor Du Dich aber an die Lösung der Aufgabe machst, solltest Du nun zunächst daran arbeiten, diese Lücken zu schließen.
Mal ein paar Anregungen: was ist eine Cauchyfolge im [mm] \IR [/mm] (Definition), und was weiß man über reelle Cauchyfolgen?
Wie ist die Konvergenz einer komplexen Folge definiert? Welche Zusammenhänge gibt es zur Konvergenz von reellen Folgen?
Möglicherweise hattet Ihr auch Teilaufgaben, die der geposteten Aufgabe voausgingen.
Tun könntest du zum Beweis anschließend dies:
Zeige, daß aus "komplexe Cauchyfolge" folgt, daß Real- und Imaginärteil der Folge konvergieren. Schließe hieraus, daß die Folge in [mm] \IC [/mm] konvergiert.
Damit wäre dann die Vollständigkeit gezeigt.
Gruß v. Angela
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