Vollständiges Quadrat < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 04.04.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Sei a ungerade pos. ganze Zahl, b positive ganze Zahl und p eine ungerade Primzahl
Finde alle (a,b,p) für die
[mm] $(p^{a-1}+b)^2-4b(p^a+2)$ [/mm] das Quadrat einer natürlichen zahl ist, wobei $b < [mm] p^{a-2}$ [/mm] |
Ich vermute, das ist nie ein vollst. Quadrat.
Habe aber nur den Spezialfall a=3,b=1 für beliebige p beweisen können....
(habe obigen Ausdruck zwischen die Quadrate zweier benachbarter Zahlen einschließen können.
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Hallo wauwau,
Du hast immer eigenartige Problemstellungen. Mich würde wirklich interessieren, woran Du eigentlich arbeitest. Zahlentheoretisch ist das alles andere als trivial.
> Sei a ungerade pos. ganze Zahl, b positive ganze Zahl und p
> eine ungerade Primzahl
> Finde alle (a,b,p) für die
> [mm](p^{a-1}+b)^2-4b(p^a+2)[/mm] das Quadrat einer natürlichen
> zahl ist
> Ich vermute, das ist nie ein vollst. Quadrat.
> Habe aber nur den Spezialfall a=3,b=1 für beliebige p
> beweisen können....
> (habe obigen Ausdruck zwischen die Quadrate zweier
> benachbarter Zahlen einschließen können.
Letzteres heißt also es gibt ein n, so dass [mm] n^2<(p^{a-1}+b)^2-4b(p^a+2)<(n+1)^2 [/mm] ist?
Das könnte verallgemeinerbar sein, aber dazu wäre es hilfreich, wenn Du Deinen Beweis des Spezialfalls mal vorstellen könntest. So aus dem Ärmel sehe ich jedenfalls nicht, wie das allgemein gehen sollte.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
Deine Gleichung ist z.B. mit folgenden Werten erfüllt:
1) Für a=1, p=3:
b=18,21,30
2) Für a=3, p=3:
b=98,117,170,198,341,630
3) Für a=3, p=5:
b=458,534,644,1008,2394,4550
4) Für a=3, p=7:
b=1315,1323,1378,1380,1479,1519,1612,1644,1672,1843,2095,2190,2403,2907,
3234,3438,4075,4920,5104...
etc.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Di 05.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
die "kleine" Nebenbedingung erschwert die Sache allerdings erheblich. Vielleicht gibt es dann doch keine Lösung. Ich mache mich heute Abend mal auf eine begründete Suche nach einem Gegenbeispiel, sprich: einer Lösung. Wie deren Unmöglichkeit zu beweisen ist, sehe ich im Moment nicht, also auch nicht, wie Dein Beweis zu verallgemeinern wäre.
Das Thema Variation in der Multiplikation beackerst Du ja jetzt schon länger. Ich hätte es mir also vielleicht auch denken können. Die zahlentheoretischen Fragen, die Du damit aufwirfst, sind jedenfalls alle unorthodox und damit reizvoll. Ansonsten könnte ich mir vorstellen, dass die Arbeit am Thema sonst wenig ergiebig ist, oder? Da braucht man eine Menge Hoffnung und Durchhaltevermögen.
Grüße jedenfalls, und bis später,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Di 05.04.2011 | | Autor: | wauwau |
Naja ich untersuche Spezialfälle, ob die Variation einer Multiplikation eine Primzahlpotenz sein kann,....
mein ausdruck hat eine lösung (ich gestehe mit GP-PARI gefunden)
p=3,a=5,b=8
p=3,a=7,b=53
p=3,a=19,b=32827608
Leider wieder keine richtige Vermutung.....
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Hallo wauwau,
hier zwischendurch ein paar Gegenbeispiele zu Deiner Behauptung:
Angabe als Tripel [mm] (a,p,b)\to{n^2}
[/mm]
[mm] (5,3,8)\to{9^2}
[/mm]
[mm] (5,13,272)\to{20673^2}
[/mm]
[mm] (7,3,53)\to{384^2}
[/mm]
[mm] (7,5,744)\to{5953^2}
[/mm]
[mm] (7,7,3268)\to{62093^2}
[/mm]
[mm] (9,3,656)\to{657^2}
[/mm]
[mm] (11,3,3374)\to{38805^2}
[/mm]
[mm] (13,3,53144)\to{53145^2}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 01.05.2011 | | Autor: | wauwau |
Was ist, wenn man zusätzlich b ungerade und $p [mm] \ge [/mm] 5$ verlangt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Di 03.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
> Was ist, wenn man zusätzlich b ungerade und [mm]p \ge 5[/mm]
> verlangt?
Ich glaube nicht so recht, dass man das ohne Not tun sollte, es sei denn, die Behauptung wird dadurch beweisbar.
Morgen oder übermorgen schaue ich mal, ob ich noch die Excel-Datei auf meinem Bürorechner habe, mit der ich vor einem Monat nach Gegenbeispielen gesucht habe. Das kann sein, allerdings hat seitdem der Rechner gewechselt. Wenn die Daten nicht mit übertragen worden sein sollten, dann habe ich gerade zu wenig Zeit (und Motivation), das alles neu zu schreiben. Außerdem müsste ich wegen des recht beschränkten Zahlenbereichs von Excel wahrscheinlich sowieso noch einmal ganz anders ansetzen, und das ist mir gerade zu aufwändig.
Auf die Schnelle sehe ich aber wirklich keinen Grund, warum diese Einschränkung dazu führen sollte, dass es keine Lösung mehr gibt. In der Zahlentheorie sind Gegenbeispiele oft schwer zu finden, weil es eben um beliebig große Zahlen geht, so dass man letztlich sowieso darauf angewiesen ist, schlüssige Beweise zu finden. Das scheint mir bei der von Dir untersuchten Behauptung aber ausnehmend schwierig zu sein.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 03.05.2011 | | Autor: | felixf |
> Was ist, wenn man zusätzlich b ungerade und [mm]p \ge 5[/mm]
> verlangt?
Mit $p = 23$, $a = 7$, $b = 1273427$ bekommt man [mm] $70356842^2$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Di 03.05.2011 | | Autor: | felixf |
Wen's interessiert, hier ein schnell zusammengehacktes Programm in C++:
| 1: | #include <iostream>
| | 2: | #include <cmath>
| | 3: |
| | 4: | bool isPrime(long n)
| | 5: | {
| | 6: | if (n <= 1)
| | 7: | return false;
| | 8: | if (n <= 3)
| | 9: | return true;
| | 10: | for (long k = 2; k * k <= n; ++k)
| | 11: | if (n % k == 0)
| | 12: | return false;
| | 13: | return true;
| | 14: | }
| | 15: |
| | 16: | long power(long a, long e)
| | 17: | {
| | 18: | if (e == 0)
| | 19: | return 1;
| | 20: | if (e == 1)
| | 21: | return a;
| | 22: | if (e & 1)
| | 23: | return power(a * a, e / 2) * a;
| | 24: | else
| | 25: | return power(a * a, e / 2);
| | 26: | }
| | 27: |
| | 28: | bool isSquare(long b)
| | 29: | {
| | 30: | long s = (long)sqrt((double)b);
| | 31: | return s * s == b;
| | 32: | }
| | 33: |
| | 34: | int main()
| | 35: | {
| | 36: | for (long p = 5; ; ++p)
| | 37: | if (isPrime(p))
| | 38: | for (long a = 1; a < 10; a += 2)
| | 39: | {
| | 40: | long pam1 = power(p, a - 1);
| | 41: | for (long b = 1; p * b < pam1; b += 2)
| | 42: | {
| | 43: | if (isSquare((pam1 + b) * (pam1 + b) - 4 * b * (pam1 * p + 2)))
| | 44: | {
| | 45: | std::cout << "p = " << p << ", a = " << a << ", b = " << b << "\n";
| | 46: | return 0;
| | 47: | }
| | 48: | }
| | 49: | }
| | 50: | } |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wauwau |
Danke für Eure Mühen
für die numerische Überprüfung verwende ich meist das Opensourceprogramm PARI/GP
http://pari.math.u-bordeaux.fr/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wauwau |
Wie könnte man sonst beweisen, dass die quadrat. Gleichung
[mm] $bx^2-(p^{a-1}+b)x+(p^a+2)=0$ [/mm]
keine positiv, ganzzahligen Lösungen hat für a,b jeweils ungerade, pos. ganze Zahlen mit
[mm] $b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 04.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
bisher scheint ja nicht viel dafür zu sprechen, dass sie keine Lösungen hat...
Schön, x muss ungerade sein. Gibt es sonst noch Einschränkungen?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mi 04.05.2011 | | Autor: | wauwau |
vielleicht könnte man ja zumindest zeigen, dass die Lösung keine primzahl ist...
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Hallo wauwau,
ich denke ja immer noch eher, dass ein Gegenbeispiel zu finden ist. Die Suche danach kann relativ schnell gehen, wenn man ein Programm schreibt, das eine Faktorisierungsroutine enthält.
Ich würde wie folgt vorgehen:
> Wie könnte man sonst beweisen, dass die quadrat.
> Gleichung
> [mm]bx^2-(p^{a-1}+b)x+(p^a+2)=0[/mm]
> keine positiv, ganzzahligen Lösungen hat für a,b jeweils
> ungerade, pos. ganze Zahlen mit
> [mm]b 3[/mm] Primzahl
Wie schon festgestellt, muss x ungerade sein.
Weiter gilt [mm] x|p^a+2 [/mm] bzw. [mm] p^a+2=c*x, [/mm] c positiv, ungerade.
Dann kann ein Faktor x aus der ursprünglichen Gleichung gekürzt werden:
[mm] bx-b-p^{a-1}+c=0\ \gdw\ b=\bruch{p^{a-1}-c}{x-1}
[/mm]
Man braucht also nur für alle möglichen Faktorisierungen [mm] c_i*x_i [/mm] von [mm] (p^a+2) [/mm] mit ungeradem [mm] c_i,\ x_i [/mm] zu prüfen, ob b ganzzahlig und ungerade ist. Das dauert nicht lange für jedes untersuchte Paar (p,a).
Eine Lösung mit geradem b ist übrigens p=5, a=7, x=7, b=744.
Mit negativem b gibt es viele, z.B. p=7, a=3, x=5, b=-5.
Es sieht also durchaus so aus, als wäre ein Zahlentupel zu finden, das alle Bedingungen erfüllt. Ich müsste allerdings zZ manuell danach suchen, und das ist zu aufwändig.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Do 05.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
selbst manuell und nebenbei ist der Weg nicht sehr weit...
p=23, a=7, x=31, b=1273427=157*8111 löst Deine Gleichung.
p,a,x sind prim.
Und mit nicht primem x:
p=59, a=5, x=91=7*13, b=47345=5*17*557 ist auch eine Lösung.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Do 05.05.2011 | | Autor: | wauwau |
referend
Danke vielmal
vergelt's Gott
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