Vollständige Induktion Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 18.02.2011 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Beweisen Sie für alle n [mm] \ge [/mm] 2 die Ungleichung:
[mm] \bruch{4^{n}}{n+1} \le \bruch{(2n)!}{(n!^2)} [/mm] |
Hi also ich probier das erstmal allein und meld mich dann mit nem Ergebnis. glg Knut
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 18.02.2011 | | Autor: | svcds |
ich hab es jetzt so gemacht: (ich spar mir mal die linke Seite so lange es geht)
Induktionsanfang n=2 einsetzen steht da [mm] 5,\overline{3} \le [/mm] 6 wahr!
Induktionsschritt: A(n) -> A(n+1)
[mm] \bruch{4^{n+1}}{n+2} \le \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!}
[/mm]
=> LS [mm] \le \bruch{(2n+2)*(2n+1)*(2n)!}{(n+1)^2*(n!)^2}
[/mm]
dann [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] ersetzen mit [mm] \bruch{4^n}{n+1}, [/mm] weil wenn gilt a [mm] \le [/mm] b < c dann auch a < c
Hauptnenner ist dann [mm] (n+1)^3*(n+2)
[/mm]
Ausmultiplizieren liefert dann:
[mm] \bruch{4^{n+1}*(n+1)^3}{(n+1)^3*(n+2)} \le \bruch{(2n+2)*(2n+1)*(n+2)*4^n}{(n+1)^3*(n+2)}
[/mm]
multipliziere mit Hauptnenner, es ergibt sich:
[mm] 4^n*4*(n+1)^3 \le 4^n*(2n+2)*(2n+1)*(n+2) [/mm] geteilt durch [mm] 4^n [/mm] (und ausmultiplizieren)
=> [mm] 4n^3 [/mm] + [mm] 12n^2+12n+4 \le 4n^3 +14n^2 [/mm] + 14n + 4 |-4 und alles zusammenfassen liefert:
=> 0 [mm] \le 2n^2 [/mm] + 2n q.e.d. da n [mm] \ge [/mm] 2
ging das so? oder hab ich einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist sehr! unübersichtlich aber richtig
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Fr 18.02.2011 | | Autor: | svcds |
dank dir! ja aber so kann ich das besser verstehen. morgen klausur mal gucken, was dran kommt. die vorletzte matheklausur, dann nur noch examen.
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