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| Aufgabe | | Satz : Für alle natürlichen Zahen n gilt: [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] |
Hallo, ich lese gerade etws über die vollständige Induktion und gewisse Schritte verstehe ich nicht.
Also : Satz : Für alle natürlichen Zahen n gilt: [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Beweis: Die betrachtete Eigenschaft p(n) hat für eine natürliche Zahl n die Gestalt: p(n) = 0+1+2+....+n = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Wir haben zu zeigen, dass die Aussage
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : p(n) gilt.
Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion über n. Die Induktionsbasis ist p(0) , der Schritt die Aussage [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : p(n) -> p(n+1)
p(0) bedeutet:
[mm] \summe_{i=0}^{0} [/mm] i = [mm] \bruch{0*(0+1)}{2}. [/mm] Da 0 = [mm] \bruch{0*1}{2} [/mm] ist , ist p(0) bewiesen.
Okay, bis jetzt alles kapiert , weiter:
Z.z. : [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : p(n) -> p(n+1)
Dazu beliebiges a [mm] \in \IN [/mm] und beweisen :
p(a) -> p(a+1). Die Aussage p(a) = [mm] \summe_{i=0}^{a} [/mm] i = [mm] \bruch{a*(a+1)}{2} [/mm] ist die Hypothese
Aus der Annahme, dass die Hypothese gilt , muss die Gültigkeit der Aussage p(a+1) abgeleitet werden , also :
[mm] \summe_{i=0}^{a+1} [/mm] i = [mm] \bruch{(a+1) * (a+2)}{2}
[/mm]
Okay , auch kapiert und ab hier verstehe ich das nicht mehr:
" Für die Summe auf der linken Seite der Gleichung gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{a+1}i [/mm] = [mm] (\summe_{i=0}^{a} [/mm] i)+ (a+1)
Was wurde hier gemacht , wieso steht hier als Summand wieder die Hypothese [mm] "(\summe_{i=0}^{a} [/mm] i)" "
Ich verstehe diesen Schritt nicht
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Satz : Für alle natürlichen Zahen n gilt:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i = [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> Hallo, ich lese gerade etws über die vollständige
> Induktion und gewisse Schritte verstehe ich nicht.
>
> Also : Satz : Für alle natürlichen Zahen n gilt:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i = [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>
> Beweis: Die betrachtete Eigenschaft p(n) hat für eine
> natürliche Zahl n die Gestalt: p(n) = 0+1+2+....+n =
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> Wir haben zu zeigen, dass die Aussage
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : p(n) gilt.
>
> Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion
> über n. Die Induktionsbasis ist p(0) , der Schritt die
> Aussage [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : p(n) -> p(n+1)
>
> p(0) bedeutet:
> [mm]\summe_{i=0}^{0}[/mm] i = [mm]\bruch{0*(0+1)}{2}.[/mm] Da 0 =
> [mm]\bruch{0*1}{2}[/mm] ist , ist p(0) bewiesen.
>
> Okay, bis jetzt alles kapiert , weiter:
> Z.z. : [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : p(n) -> p(n+1)
> Dazu beliebiges a [mm]\in \IN[/mm] und beweisen :
> p(a) -> p(a+1). Die Aussage p(a) = [mm]\summe_{i=0}^{a}[/mm] i =
> [mm]\bruch{a*(a+1)}{2}[/mm] ist die Hypothese
>
> Aus der Annahme, dass die Hypothese gilt , muss die
> Gültigkeit der Aussage p(a+1) abgeleitet werden , also :
>
> [mm]\summe_{i=0}^{a+1}[/mm] i = [mm]\bruch{(a+1) * (a+2)}{2}[/mm]
> Okay ,
> auch kapiert und ab hier verstehe ich das nicht mehr:
>
> " Für die Summe auf der linken Seite der Gleichung gilt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{a+1}i[/mm] = [mm](\summe_{i=0}^{a}[/mm] i)+ (a+1)
>
> Was wurde hier gemacht , wieso steht hier als Summand
> wieder die Hypothese [mm]"(\summe_{i=0}^{a}[/mm] i)" "
>
> Ich verstehe diesen Schritt nicht
wenn Du's ganz genau nimmst, hat man da das Assoziativgesetz
angewendet (das macht man aber eigentlich auch schon meist unbewußt,
wenn man nur Summen ausschreibt).
Es ist eigentlich ganz einfach:
[mm] $\sum_{i=0}^{a+1} i=0+1+2+...+a+(a+1)=\red{(\black{0+1+2+...+a})}+(a+1)=\red{\left(\black{\sum_{i=0}^a i}\right)}+(a+1)\,.$
[/mm]
Das macht man übrigens deshalb, weil auf den rotgeklammerten Term ja
die Induktionsvoraussetzung angewendet werden kann (den kann man
also durch [mm] $a*(a+1)/2\,$ [/mm] ersetzen)!
Und wenn Du das nun verstanden hast, dann bitte ich Dich, mir mal
folgendes analog hinzuschreiben:
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1} a_k=\red{\left(\black{\sum_{...}^{...}...}\right)}+...$
[/mm]
(Ergänze die ...!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Sa 23.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Achsoooo, alles klar dankeschön.
Okay , also ich probiere es mal:
> Es ist eigentlich ganz einfach:
>
> [mm]\sum_{i=0}^{a+1} i=0+1+2+...+a+(a+1)=\red{(\black{0+1+2+...+a})}+(a+1)=\red{\left(\black{\sum_{i=0}^a i}\right)}+(a+1)\,.[/mm]
>
> Das macht man übrigens deshalb, weil auf den
> rotgeklammerten Term ja
> die Induktionsvoraussetzung angewendet werden kann (den
> kann man
> also durch [mm]a*(a+1)/2\,[/mm] ersetzen)!
>
> Und wenn Du das nun verstanden hast, dann bitte ich Dich,
> mir mal
> folgendes analog hinzuschreiben:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} a_k=\red{\left(\black{\sum_{...}^{...}...}\right)}+...[/mm]
>
> (Ergänze die ...!)
>
> Gruß,
> Marcel
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} a_k= [/mm] 0+1+2+...+n+(n+1) = (0+1+2+....n) + (n+1) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k [/mm] + (n+1)
Habs mal probiert , aber wieso das [mm] a_k [/mm] statt nur k ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
stelle das nächste mal das ganze als Frage und nicht als Mitteilung!
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} a_k=[/mm] 0+1+2+...+n+(n+1) = (0+1+2+....n) +
> (n+1) = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k[/mm] + (n+1)
>
> Habs mal probiert , aber wieso das [mm]a_k[/mm] statt nur k ?
[mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] (a_k)\in\IR [/mm] ist in seinem Beispiel eine beliebige reelle Folge. Ich glaube allerdings, dass ihr den Begriff von Folgen noch nicht eingeführt habt.
Es würde gelten: [mm] \sum_{k=0}^{n+1} a_k=a_0+a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}=(\sum_{k=0}^{n} a_k)+a_{n+1}
[/mm]
Ich hatte selbst das gleiche Problem früher, nachdem ich mir folgendes klargemacht habe, habe ich es verstanden:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1}k=1+2+\cdots+n+(n+1)=\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=n+1}^{n+1}k=\sum_{k=0}^{n}k+(n+1)
[/mm]
Hilft es dir?
Und zur Aufgabe dann entsprechend für den Induktionsschritt:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1}k=(\sum_{k=0}^{n}k)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 23.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Ich habs extra abgeschrieben. Das hilft mir sicherlich. Vielen Dank an euch beide.
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