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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \In. [/mm]
Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen der Länge n, wobei n eine feste natürliche Zahl ist und beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach. |
Guten Abend.
Mein Ansatz zu dieser Aufgabe ist der folgende:
Es sei [mm] 2^n [/mm] die Anzahl aller binären Folgen der Länge n, wobei es zu jeder n-längigen Folge zwei n+1 längige Folgen existieren.
Sei g(n):= [mm] 2^n
[/mm]
Induktionsbeginn:
[mm] 2^1=2
[/mm]
Prüfung der Annahme:
{1}, {0}
Induktionsschritt:
[mm] 2^n+1!=2g(n)
[/mm]
[mm] 2^{n+1}=2^n*2=2*2^n=2*g(n)
[/mm]
Dies entspricht der Voraussetzung, dass es zu jeder n-längigen Folge zwei n+1 längige Folgen existieren.
Ist das so i.O?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\in \In.[/mm]
>
> Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen
> der Länge n, wobei n eine feste natürliche Zahl ist und
> beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach.
> Guten Abend.
>
> Mein Ansatz zu dieser Aufgabe ist der folgende:
>
> Es sei [mm]2^n[/mm] die Anzahl aller binären Folgen der Länge n,
> wobei es zu jeder n-längigen Folge zwei n+1 längige
> Folgen existieren.
>
> Sei g(n):= [mm]2^n[/mm]
>
> Induktionsbeginn:
> [mm]2^1=2[/mm]
>
> Prüfung der Annahme:
> {1}, {0}
>
> Induktionsschritt:
> [mm]2^n+1!=2g(n)[/mm]
Hier meinst Du wohl: ist n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] g(n)=2^n, [/mm] so ist [mm] 2^{n+1}=2g(n).
[/mm]
Das ist aber trivial, wie Du unten gezeigt hast. Der Punkt ist jedoch, dass Du zeigen sollst:
ist n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] g(n)=2^n, [/mm] so ist [mm] 2^{n+1}=g(n+1).
[/mm]
>
> [mm]2^{n+1}=2^n*2=2*2^n=2*g(n)[/mm]
>
> Dies entspricht der Voraussetzung, dass es zu jeder
> n-längigen Folge zwei n+1 längige Folgen existieren.
>
> Ist das so i.O?
Nein.
FRED
>
>
> Grüße
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> Sei n [mm]\in \In.[/mm]
>
> Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen
> der Länge n, wobei n eine feste natürliche Zahl ist und
> beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach.
> Guten Abend.
Hallo,
wie Fred Dir schon gesagt hat, ist das so nicht in Ordnung.
>
> Mein Ansatz zu dieser Aufgabe ist der folgende:
>
> Es sei [mm]2^n[/mm] die Anzahl aller binären Folgen der Länge n,
> wobei es zu jeder n-längigen Folge zwei n+1 längige
> Folgen existieren.
>
Diesem Ansatz entnehme ich aber, daß Du die völlig richtige Idee zur Lösung der Aufgabe hast - auch wenn sie komisch formuliert ist.
Durch Induktion zeigen möchtest Du die Behauptung:
Es ist [mm] g(n):=2^n [/mm] die Anzahl der binären Folgen der Länge n ür alle [mm] n\in \IN [/mm] .
> Induktionsbeginn:
n=1
> Prüfung der Annahme:
Es gibt genau zwei binäre Folgen der Länge n=1, nämlich
> {1}, {0}.
Also ist [mm] g(1)=2=2^1.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
es gelte die Behauptung für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> Induktionsschritt:
Zu zeigen: unter der Voraussetzung gilt die Behauptung auch für n+1, dh. es ist [mm] g(n+1)=2^{n+1}.
[/mm]
Bew.: hier mußt Du nun erklären, wie Du aus den Folgen der Länge n die der Länge n+1 bekommst, und warum sich gerade [mm] g(n+1)=2^{n+1} [/mm] ergibt.
Du weißt es richtig, mußt es nur noch formulieren.
Worte sind erlaubt.
LG Angela
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