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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:32 So 14.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
1) [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{2^i}) [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^n}
[/mm]
2) [mm] 3*\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)² [/mm] = 4n³+12n²+11n+3 |
Ich wende für beide Teilaufgaben die vollständige Induktion an, jedoch stimmen bei mir die Gleichungen am Ende nicht überein.
In der ersten Teilaufgabe komme ich auf [mm] 2-\bruch{3n+5}{2^(n+1)} [/mm] und in der zweiten auf 4n³+12n²+11n+6
wobei ich für beide Induktionsanfänge n=1 gewählt habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 So 14.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
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> 1) [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{2^i})[/mm] = 2 - [mm]\bruch{n+2}{2^n}[/mm]
>
> 2) [mm]3*\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)²[/mm] = 4n³+12n²+11n+3
> Ich wende für beide Teilaufgaben die vollständige
> Induktion an, jedoch stimmen bei mir die Gleichungen am
> Ende nicht überein.
>
> In der ersten Teilaufgabe komme ich auf
> [mm]2-\bruch{3n+5}{2^(n+1)}[/mm] und in der zweiten auf
> 4n³+12n²+11n+6
>
> wobei ich für beide Induktionsanfänge n=1 gewählt habe.
Tja, was soll man dazu sagen ? Wäre ich Hellseher, so würde ich mir Deine Rechnungen ansehen können, die Du ja nicht verraten willst. Ich bin aber kein Hellseher.....
Was machen wir nun ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Meine Rechnungen bis jetzt:
1)
I.A. [mm] \summe_{i=1}^{n=1}(\bruch{i}{2^i}) [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2¹} [/mm] = [mm] 2-\bruch{1+2}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
I.S. [mm] \summe_{i=1}^{n=1+1}(\bruch{i}{2^i}) [/mm] = [mm] 2-(\bruch{(n+1)+2}{2^(n+1)})=2-(\bruch{n+3}{2^n*2})
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n=1+1}(\bruch{i}{2^i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n=1}(\bruch{i}{2^i}) [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{2^(n+1)} [/mm] =(IV) [mm] 2-\bruch{(n+2)}{(2^n)}+\bruch{(n+1)}{2^(n+1)} [/mm] = [mm] 2-\bruch{2(n+2)}{2^(n+1)}+\bruch{(n+1)}{2^(n+1)} [/mm] = [mm] 2-\bruch{3n+5}{2^(n+1)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 14.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
Habe das Vorzeichen ignoriert, wie dumm.
Kannst du mir noch bei der anderen Aufgabe helfen?
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Meine Rechnungen zur zweiten Aufgabe:
I.A.
[mm] 3*\summe_{i=1}^{1+1}(2i-1)^2=3*(1+9)=10*3=30=4*1^3+12*1^2+11*1+3=30
[/mm]
I.S.
[mm] 3*\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)^2=4n^3+12n^2+11n+3 \Rightarrow 3*\summe_{i=1}^{(n+1)+1}(2i-1)^2=4(n+1)^3+12(n+1)^2+11(n+1)+3
[/mm]
[mm] 3*(\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)^2+\summe_{i=1}^{1}(2i-1)^2)
[/mm]
=(IV) 4n³+12n²+11n+3+3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 14.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheDell!
> I.A.
> [mm]3*\summe_{i=1}^{1+1}(2i-1)^2=3*(1+9)=10*3=30=4*1^3+12*1^2+11*1+3=30[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich selber hätte hier wohl eher mit [mm]n \ = \ 0[/mm] gestartet, aber das ändert nichts.
> I.S.
> [mm]3*\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)^2=4n^3+12n^2+11n+3 \Rightarrow 3*\summe_{i=1}^{(n+1)+1}(2i-1)^2=4(n+1)^3+12(n+1)^2+11(n+1)+3[/mm]
Wie oben bereits geschrieben: das ist noch nicht der Induktionsschritt, sondern die zu zeigende Behauptung.
> [mm]3*(\summe_{i=1}^{n+1}(2i-1)^2+\summe_{i=1}^{1}(2i-1)^2)[/mm] =(IV) 4n³+12n²+11n+3+3
Das hier ist nun nicht mehr ganz nachvollziehbar.
Es gilt:
[mm]3*\summe_{i=1}^{n+2}(2*i-1)^2[/mm]
[mm]= \ \red{3*\summe_{i=1}^{n+1}(2*i-1)^2} \ + \ \blue{3*\summe_{i=n+2}^{n+2}(2*i-1)^2}[/mm]
[mm]= \ \red{4*n^3+12*n^2+11*n+3} \ + \ \blue{3*[2*(n+2)-1]^2}[/mm]
Nun weiter zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 So 14.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
Vielen Dank. Ich denke mein Fehler bestand darin, dass ich [mm] \summe_{i=1}^{n+2} [/mm] in [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] anstatt in [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n+2} [/mm] aufzuteilen.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier fasst Du die Brüche falsch zusammen, da Du das Minuszeichen vor dem ersten Bruch ignorierst.
