Vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^{2n-1} [/mm] |
Guten Tag,
also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes aufgeschrieben habe.
[mm] {(1+1)}^{2n-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix}
[/mm]
Da ja nun gilt: [mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
[mm] \sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^{2n-1}
[/mm]
Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
Bitte um Hilfe! ; )
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 12.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1
>
> [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\
2k \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]2^{2n-1}[/mm]
> Guten Tag,
> also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die
> Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes
> aufgeschrieben habe.
>
> [mm]{(1+1)}^{2n-1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da ja nun gilt: [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]2^n[/mm]
>
> habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
>
> [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]2^{2n-1}[/mm]
>
> Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit
> vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
> Bitte um Hilfe! ; )
Hallo,
sicher kann man das so beweisen, und du hast das auch ganz clever gemacht.
Da du allerdings die Aufgabe selbst unter die Überschrift "Vollständige Induktion" gestellt hast, vermute ich, dass man einen Beweis mit vollständiger Induktion von dir erwartet????
Letztendlich scheint wohl das Hauptziel zu sein, dass ihr dieses Beweisverfahren sicher beherrscht...
Gruß Abakus
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AldoRaine |
Ja ich weiß, dass ich Vollständige Induktion als Thema angegeben habe. Das hat den Grund, dass diese Aufgabe aus Otto Forster Analysis ist, im Kapitel §1 Vollständige Induktion. Im Lösungsbuch werden auch einige Aufgaben aus diesem Kapitel weniger durch Vollständige Induktion gelöst.
Das macht mich ja glücklich, dass ich nach langer Zeit Rumprobieren auf so eine banale Lösung gekommen bin. ^^
Danke also ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\
2k \end{pmatrix}[/mm] =
> > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> > Guten Tag,
> > also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die
> > Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes
> > aufgeschrieben habe.
> >
> > [mm]{(1+1)}^{2n-1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k[/mm]
> > = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Da ja nun gilt: [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> > = [mm]2^n[/mm]
> >
> > habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> =
> > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> >
> > Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit
> > vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
> > Bitte um Hilfe! ; )
> Hallo,
> sicher kann man das so beweisen, und du hast das auch ganz
> clever gemacht.
Hallo Abakus,
hab ich Tomaten auf den Augen, aber was soll denn Aldo so clever bewiesen haben ?
In $ [mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] 2^n [/mm] $
hat er nur das n durch 2n-1 ersetzt. Mehr nicht. Die behauptete Formel hat er damit nicht gezeigt.
FRED
> Da du allerdings die Aufgabe selbst unter die Überschrift
> "Vollständige Induktion" gestellt hast, vermute ich, dass
> man einen Beweis mit vollständiger Induktion von dir
> erwartet????
> Letztendlich scheint wohl das Hauptziel zu sein, dass ihr
> dieses Beweisverfahren sicher beherrscht...
> Gruß Abakus
> > Liebe Grüße
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Do 13.09.2012 | | Autor: | abakus |
> >
> > > Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1
> > >
> > > [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\
2k \end{pmatrix}[/mm]
> =
> > > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> > > Guten Tag,
> > > also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die
> > > Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes
> > > aufgeschrieben habe.
> > >
> > > [mm]{(1+1)}^{2n-1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k[/mm]
> > > = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Da ja nun gilt: [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> > > = [mm]2^n[/mm]
> > >
> > > habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
> > >
> > > [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> > =
> > > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> > >
> > > Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit
> > > vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
> > > Bitte um Hilfe! ; )
> > Hallo,
> > sicher kann man das so beweisen, und du hast das auch
> ganz
> > clever gemacht.
>
> Hallo Abakus,
>
> hab ich Tomaten auf den Augen, aber was soll denn Aldo so
> clever bewiesen haben ?
>
> In [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm] = [mm]2^n[/mm]
... wobei man diese weithin geläufige Formel als allgemein bekannt voraussetzen kann...
>
> hat er nur das n durch 2n-1 ersetzt. Mehr nicht. Die
> behauptete Formel hat er damit nicht gezeigt.
Das ist nun die Frage, ob man bei einem Beweis erst die gesamte Mathematik axiomatisch aufbauen muss oder auf wie viele bekannte Sätze man (in einer konkreten "Lernumgebung") zurückgreifen darf.
>
> FRED
> > Da du allerdings die Aufgabe selbst unter die Überschrift
> > "Vollständige Induktion" gestellt hast, vermute ich, dass
> > man einen Beweis mit vollständiger Induktion von dir
> > erwartet????
> > Letztendlich scheint wohl das Hauptziel zu sein, dass
> ihr
> > dieses Beweisverfahren sicher beherrscht...
> > Gruß Abakus
> > > Liebe Grüße
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > > > Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1
> > > >
> > > > [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\
2k \end{pmatrix}[/mm]
> > =
> > > > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> > > > Guten Tag,
> > > > also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die
> > > > Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes
> > > > aufgeschrieben habe.
> > > >
> > > > [mm]{(1+1)}^{2n-1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k[/mm]
> > > > = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > Da ja nun gilt: [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> > > > = [mm]2^n[/mm]
> > > >
> > > > habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
> > > >
> > > > [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> > > =
> > > > [mm]2^{2n-1}[/mm]
> > > >
> > > > Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit
> > > > vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
> > > > Bitte um Hilfe! ; )
> > > Hallo,
> > > sicher kann man das so beweisen, und du hast das
> auch
> > ganz
> > > clever gemacht.
> >
> > Hallo Abakus,
> >
> > hab ich Tomaten auf den Augen, aber was soll denn Aldo so
> > clever bewiesen haben ?
> >
> > In [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]2^n[/mm]
>
> ... wobei man diese weithin geläufige Formel als allgemein
> bekannt voraussetzen kann...
> >
> > hat er nur das n durch 2n-1 ersetzt. Mehr nicht. Die
> > behauptete Formel hat er damit nicht gezeigt.
>
> Das ist nun die Frage, ob man bei einem Beweis erst die
> gesamte Mathematik axiomatisch aufbauen muss oder auf wie
> viele bekannte Sätze man (in einer konkreten
> "Lernumgebung") zurückgreifen darf.
Was soll das ? Gezeigt werden soll:
$ [mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] =$2^{2n-1} [/mm] $.
Hat er das gezeigt ?
Mit dem bin. Satz hat er gezeigt:
$ [mm] \sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] $=$ [mm] 2^{2n-1} [/mm] $
Also bleibt noch zu zeigen:
[mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}= \sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix}
[/mm]
FRED
>
> >
> > FRED
> > > Da du allerdings die Aufgabe selbst unter die Überschrift
> > > "Vollständige Induktion" gestellt hast, vermute ich, dass
> > > man einen Beweis mit vollständiger Induktion von dir
> > > erwartet????
> > > Letztendlich scheint wohl das Hauptziel zu sein,
> dass
> > ihr
> > > dieses Beweisverfahren sicher beherrscht...
> > > Gruß Abakus
> > > > Liebe Grüße
> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt.
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1
>
> [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]2^{2n-1}[/mm]
> Guten Tag,
> also ich bin die Aufgabe so angegangen, dass ich die
> Gleichung in der Form des Binomischen Lehrsatzes
> aufgeschrieben habe.
>
> [mm]{(1+1)}^{2n-1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix} 1^{2n-1-k}*1^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da ja nun gilt: [mm]\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]2^n[/mm]
>
> habe ich das auf meine Gleichung übertragen und komme auf
>
> [mm]\sum_{k=0}^{2n-1} \begin{pmatrix} 2n-1 \\ k \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]2^{2n-1}[/mm]
>
> Meine Frage letzten Endes ist, ob der Beweis damit
> vollständig wäre, oder ob das als Beweis nicht ausreicht.
??????
$ [mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] 2^{2n-1} [/mm] $
hast Du nicht gezeigt !!!!
Was Du gemacht hast: Du hast in $ [mm] \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] $= $ [mm] 2^n [/mm] $
das n durch 2n-1 ersetzt. Sonst nichts !
FRED
> Bitte um Hilfe! ; )
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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