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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 30.08.2005 | | Autor: | panzer |
Hi!
Habe folgendes Problem habe angesetzt mit der Vollständigen Induktion, indem ich einen Anker gesetzt habe bei beiden n=1 , ging auch bei beiden.
Jetzt habe ich aber das Problem,dass ich nicht von 6/n³-n (6 teilt n³-n) auf 6/(n+1)³-(n+1). Wie komm ich am einfachsten darauf? Das ist bei der zweiten Aufgabe nämlich dasselbe Problem.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 30.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo panzer!
Also leichter geht es ohne Iduktion, aber wenn es sein muss... 
[mm] $(n+1)^3-(n+1) [/mm] = [mm] n^3+3n^2+3n+1-n-1 [/mm] = [mm] n^3-n [/mm] + 3n(n+1)$.
Nun ist [mm] $n^3-n$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung durch $6$ teilbar.
Da $n(n+1)$ la Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen durch $2$ teilbar ist ((genau) einer der beiden Faktoren ist ja gerade), ist auch $3n(n+1)$ durch $6$ teilbar.
Fertig...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 30.08.2005 | | Autor: | panzer |
Wie würd es denn ohne Induktion gehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 30.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt:
[mm] $n^3-n [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] (n-1) [mm] \cdot [/mm] (n+1)$.
Als Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen ist dies durch $2$ und durch $3$ teilbar; wegen $ggT(2,3)=1$ also auch durch $6=2 [mm] \cdot [/mm] 3$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 30.08.2005 | | Autor: | panzer |
danke für deine hilfe
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