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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion [mm] (n\in\IN) [/mm]
[mm] 1+2+...+n=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] |
Guten Abend,
mein Problem liegt bei einem entscheidenden Zwischenschritt, dem Vorklammern (Herausheben) im letzten Schritt dieser Aufgabe. Ich rechne am besten bis zum besagten Knoten und stelle dort meine Frage.
1. Induktionsanfang, linke und rechte Seite n=1 also:
linke Seite =1, rechte Seite [mm] \bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{1(1+1)}{2}=1
[/mm]
2. Induktionsvoraussetzung, [mm] 1+2+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
3. Induktionsschluss, zu zeigen ist, dass die Gleichung auch für n+1 gilt, also:
linke Seite 1+2+...+n+(n+1) rechte Seite [mm] \bruch{(n+1)\cdot(n+1+1)}{2}=\bruch{(n+1)\cdot(n+2)}{2} [/mm] das ist mein Ziel, das ich beweisen muss, also:
[mm] \bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)=\bruch{n(n+1)}{2}+\bruch{2(n+1)}{2}=\bruch{n(n+1)+2(n+1)}{2} [/mm] so, an dieser Stelle kann ich nun nach allen Regeln der Kunst ,,Vorklammern" Aber wie? Ich weiß, dass ich den Faktor n+1 vorklammern darf, muss aber jeden Summanden durch den ausgeklammerten Faktor also (n+1) dividieren. Ich fange einfach mal an:
[mm] \bruch{n(n+1)}{2(n+1)}=\bruch{n(n+1}{2(n+1)}=\bruch{(n\cdotn)+(n\cdot1)}{(2\cdotn)+2}=\bruch{n+n}{2+2} [/mm] desweiteren [mm] \bruch{2(n+1)}{2\cdot(n+1)}=\bruch{n+1}{n+1} [/mm] und hier, an dieser Stelle ist der Wurm drin. Zur Erinnerung es mus rauskommen [mm] =\bruch{(n+1)\cdot(n+2)}{2}
[/mm]
Ich freue mich auf konstruktive Vorschläge.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> so, an dieser Stelle kann ich nun nach allen Regeln der Kunst ,,Vorklammern"
Was soll bitte Vorklammern sein?
> $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(n+1)}=\bruch{n(n+1}{2(n+1)}=\bruch{(n\cdot n)+(n\cdot 1)}{(2\cdot n)+2}=\bruch{n+n}{2+2} [/mm] $
1. Beim ersten Bruch sieht man sofort, daß man (n+1) kürzen kann.
[mm] $\frac{ab}{ac}=\frac [/mm] bc$
2.
> $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(n+1)}=\bruch{n(n+1}{2(n+1)}$
[/mm]
die linke Seite ist das gleiche wie die rechte, nur schließt Du rechts die Klammer nicht? Ist das irgendein spezieller Ausdruck?
3.
> [mm] $=\bruch{(n\cdot n)+(n\cdot 1)}{(2\cdot n)+2}=$
[/mm]
An dieser Stelle machst Du das ganze wesentlich unübersichtlicher. Denn jetzt sieht man nicht mehr auf Anhieb, daß man da (n+1) kürzen kann
4.
> [mm] $=\bruch{n+n}{2+2}$
[/mm]
Und was dieser Schritt sein soll, ist mir ein völliges Rätsel. $n*n=n$?! $2*n=2$?!
Wieso machst Du Dir das Leben nicht viel leichter und klammerst (n+1) aus:
[mm] $\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \frac{(n+2)(n+1)}{2}$
[/mm]
Der Faktor steht ja praktischerweise in jedem Summanden schon schön da.
a*c+b*c=(a+b)*c. Distributivgesetz.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:59 Mi 13.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
>
> > so, an dieser Stelle kann ich nun nach allen Regeln der
> Kunst ,,Vorklammern"
>
> Was soll bitte Vorklammern sein?
>
Hallo Blech,
diese Kunst wird hier erklärt:
http://www.youtube.com/watch?v=qeeuij_K7Wg
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mi 13.07.2011 | | Autor: | feinstkorn |
Hi Stefan,
danke für Deine Antwort.
Sorry mit den offenen Klammern, das war keine Absicht. Den letzten Satz werde ich gleich noch einmal aufschreiben aber zuerst:,,Ausklammern und Vorklammern ist dass gleiche'' Viele sagen auch ,,Herausheben''
Also: [mm] \bruch{n(n+1)+2(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n+1)}{2(n+1)}+\bruch{2(n+1)}{2(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{2}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{n+(1\cdot2)}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n+2}{2}
[/mm]
so, jetzt multipliziere ich den letzten o. g. Schritt mit den ausgeklammerten Faktor (n+1) und erhalte:
[mm] =\bruch{n+2}{2}\cdot{n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+2)\cdot(n+1)}{2}
[/mm]
Wie Du es beschrieben hast:,, Es ist nichts anderes als [mm] \bruch{a}{b}\cdot{c}=\bruch{ac}{b}
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
Vittorio
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